📝 中国科学技术大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$ ．

2．设 $\displaystyle x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $x_{n}=\sin x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}^{2}$ ．

3．设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．

4．设 $y=f(x)$ 是 $e^{x}+x y=e$ 在 $(0,1)$ 点附近确定的隐函数，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．

5．求 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 被柱面 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 x y$ 所截下的面积．

七．（10 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，对任意的 $\displaystyle 0 \leq a<b \leq 1, f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的最大值点，证明：$\displaystyle f(x)$为常值函数．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上反常可积，即 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，定义函数 $\displaystyle \varphi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (x t) \mathrm{d} t$ ，证明： $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

二．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{|x y|^{\alpha}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=0 .\end{cases}$
（1）$\displaystyle \alpha$ 取何值时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续？
（2）$\displaystyle \alpha$ 取何值时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微？

五．（15 分）证明：
（1）对任意的 $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle |\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1} \cos (2 n x)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x)|\cos \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积．

八．（10 分）设 $\displaystyle f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ 满足

$$
|f(x)-f(y)|<|x-y|, \forall x, y \in[0,1], x \neq y
$$

证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ ，满足

$$
f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}
$$

四．（20分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一有光滑边界的有界区域，设 $\displaystyle u \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\bar{\Omega})$ ，且 $\displaystyle \Delta u=0$ ．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\iiint_{\Omega}\|\nabla u\|^{2} \mathrm{~d} V$ ．
（2）若 $\displaystyle \left.u\right|_{\partial \Omega} \equiv 1$ ，证明：$\displaystyle u \equiv 1$ ．