📝 北京科技大学 2023年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

2．已知函数 $u(x, y)$ 满足

$$
2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+3 \frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$

求 $a, b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)=v(x, y) e^{a x+b y}$ 下，上述等式可化为函数 $v(x, y)$ 的不含一阶偏导数的等式．

3．计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．

4．设函数 $f(x)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $g^{\prime}(x)$ ，并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续。

七．（15 分）计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{r<10}[r] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},[r]$ 表示不超过 $r$ 的最大整数．

三．（15 分）利用确界原理证明定义在闭区间上的连续函数必然是有界的．

九．（10 分）设 $\displaystyle F(x), G(x)$ 连续可微，且 $\displaystyle F(0)=F(4), G(0)=G(4)$ ．区域 $D$ 由 $\displaystyle y=x, y=4 x, x y=1, x y=4$围成，其边界 $\displaystyle \partial D$ 取逆时针方向．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{\partial D} \frac{F(x y)}{x} \mathrm{~d} x+\frac{G(x y)}{y} \mathrm{~d} y$ ．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：对任何正整数 $n$ ，有

$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}
$$

其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数．

五．（15 分）解答如下问题：
（1）求函数 $\displaystyle f(x)=|x|, x \in[-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数．
（2）证明 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle a, b$ 为正常数，函数 $\displaystyle f(u)$ 连续可微，$S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的表面，方向取外侧．计算第二型曲面积分

$$
I=\iint_{S} \frac{2}{b+y} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{a+x} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

六．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有定义，对任意的 $\displaystyle b>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=a$ ．若 $\displaystyle \varphi(t)$在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \varphi(t x) f(x) \mathrm{d} x=a$ ．

四．（15 分）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的非负数列．证明．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{2^{n}}$ 具有相同的玫散性．