📝 华东理工大学 2026年数学分析真题

1．写出基本数列（Cauchy 数列）的定义．

2．设 $x_{1}>0$ ，对 $n \geq 1$ ，有 $x_{n+1}=\arctan x_{n}$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 是基本数列．

1．$f$ 在 $[0,1]$ 上可积，说明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ ．

2．对 $n \geq 1$ ，定义 $\displaystyle A_{n}=\frac{\sum_{k=1}^{n} k \sin \left(\frac{k-1}{n} \pi\right)}{n^{2}}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}$ ．

1．当 $p=0$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．

2．当 $p=1$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．

1．$\displaystyle x^{2} \frac{\partial z}{\partial x}-y^{2} \frac{\partial z}{\partial y}=1$ ．

2．$\displaystyle x^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+x y(x-y) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-y^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+2=0$ ．

1．给出函数列一致收敛的定义．

2．对 $n \geq 1$ ，设 $\displaystyle S_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，证明：函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．

3．当 $n \geq 1$ 时，$\displaystyle T_{n}(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+n^{2} x^{2}}$ ，问：函数列 $\left\{T_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是否一致收敛？请证明你的结论．

二．设函数 $f$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq 4 \frac{|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}}
$$

五．记 $\displaystyle I_{p}=\int_{2}^{+\infty} \frac{(\ln x)^{p} \sin x}{x} \mathrm{~d} x, p \in \mathbb{R}$ ．

八．设 $\displaystyle \Sigma$ 是单位球面 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ ，记 $\displaystyle I_{p}=\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{p} \mathrm{~d} S, p$ 是正整数，求 $\displaystyle I_{1}, I_{2}$ ．九．解答如下问题：

六．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{\Gamma}|\sqrt{3} y-x| \mathrm{d} x-5 z \mathrm{~d} z$ ，其中

$$
\Gamma:\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \\
x^{2}+y^{2}=2 z
\end{array}\right.
$$

从 $z$ 轴正向往坐标原点看去取逆时针方向．