📝 华中科技大学 2025年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}\right)^{3}-\cos ^{2} x}{\tan x^{2}}$ ．

2．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．

3．设 $\beta>0, \alpha>1$ 为常数，计算无穷积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+\beta x^{\alpha}}$ ．

4．设 $\alpha>0$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$ ．

5．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{3}+k^{3}+k^{2}}$ ．

6．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．

7．求积分

$$
I=\oint_{C}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y
$$

其中 $C$ 是从点 $A(1,1)$ 到点 $B(2,5)$ 再到点 $C(3,2)$ 最后到点 $A(1,1)$ 的三角形边界．

8．设 $a, b, c$ 为正常数，$S$ 为单位球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧，计算第二类曲面积分

$$
I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

9．用 $\varepsilon-N$ 语言证明极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(2 n)!}}=0$ ．

10．设

$$
\begin{gathered}
x_{1}=1, x_{2}=\sqrt{\frac{1}{2}+1}, x_{3}=\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}, x_{4}=\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}} \\
\cdots, x_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{n+1}+x_{n}}, \cdots
\end{gathered}
$$

证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求出极限值．

11．设函数 $f(x) \in C(0,+\infty)$ ，满足 $x=f(x) 5^{f(x)}$ ．证明：
（1）$f(x)$ 单调递增．
（2） $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{\ln x}=\frac{1}{\ln 5}$ ．

12．对常数 $a>0$ ，记平面区域 $D: x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$ 的边界为 $\partial D$ ．设二元函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数，且 $f(x, y)=0,(x, y) \in \partial D$ ．证明：

$$
\left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{\pi a^{2}}{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}
$$

三．证明题．前两题各 10 分，后两题各 15 分．