📝 南京信息工程大学 2024年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(1 \cdot \sqrt{1+\frac{1^{2}}{n^{2}}}+2 \cdot \sqrt{1+\frac{2^{2}}{n^{2}}}+\cdots+n \cdot \sqrt{1+\frac{n^{2}}{n^{2}}}\right)$ ．

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\left(\frac{a^{x}-1}{a-1}\right) x\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1)$ ．

七．（本题满分 15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ．
讨论下列问题：
（1）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性；
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数；
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．

三．（本题满分 14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [1,2]$ 上具有二阶连续导数，且

$$
f(1)=f(2)=\int_{1}^{2} f(x) d x
$$

证明：存在 $\displaystyle \xi \in(1,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

九．（本题满分 15 分）考虑方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z+\sin z=0$ ．
（1）证明该方程在 $\displaystyle (0,0,0)$ 点附近惟一确定了隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ；
（2）将 $\displaystyle z(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点展开至二阶的带皮亚诺余项的泰勒级数。

二．（本题满分 12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ ．

五．（本题满分 15 分）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，若收敛，指出为绝对收敛或条件收敛。

八．（本题满分 15 分）设含参量积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (\alpha x)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x, \alpha \in(0,+\infty)$ ．
（1）证明：$\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导；
（2）求出 $\displaystyle I(\alpha)$ 的表达式．

六．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, n \in N$ ，证明：
（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ；
（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．

十．（本题满分 15 分）设曲面 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \geq 0\right\}$ 取上侧，求曲面积分

$$
I=\iint_{\Sigma}\left(y e^{z}+x^{3}\right) d y d z+\left(z e^{x}+y^{3}\right) d z d x+\left(y \cos (x y)+z^{3}\right) d x d y
$$

四．（本题满分 14 分）设 $D$ 是由两条直线 $\displaystyle y=x, y=2 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1$ ， $\displaystyle x y=2$ 围成的区域。 $\displaystyle F(u)$ 连续可微 $\displaystyle F^{\prime}(u)=f(u)$ 。证明：

$$
\int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} d y=\frac{\ln 2}{2} \int_{1}^{2} f(u) d u,
$$

其中 $\displaystyle \partial D$ 方向取逆时针方向．