📝 南京师范大学 2021年数学分析真题

1．设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{3^{\ln n}}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ ．

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．

3．设 $\displaystyle a_{n}=\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^{n}} d x$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．

4． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta} d \theta$ ．

七、设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明
（1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在；
（2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．（15分）

三、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle U\left(x_{0} ; \delta_{1}\right)$ 内二阶连续可微，记 $\displaystyle I(\delta)=\frac{1}{2 \delta} \int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta} f(x) d x, 0<\delta<\delta_{1}$
（1）证明： $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} I(\delta)=f\left(x_{0}\right)$ ；
（2）假设 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ．求 $\displaystyle I(\delta)-f\left(x_{0}\right)$ 当 $\displaystyle \delta \rightarrow 0^{+}$时的主要部分．（15 分）

九、计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d z$ ，其中 $L$ 是平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向。（15分）

二、设 $\displaystyle f(x)$ 是开区间 $I$ 内的凸函数，即对 $\displaystyle \forall x, y \in I$ 及 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，均有 $\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda) y) \leq \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 的任何闭子区间上有界，并举例说明 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 内不一定有界。（15分）

五、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}(a>0)$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）（15 分）

八、证明函数 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x}{1+(x+y)^{2}} d x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导。（15分）

六、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上二阶连续可微，且 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f^{\prime}(-\pi)=f^{\prime}(\pi)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 系数有如下估计：
$\displaystyle \_\_\_\_$ 602科目名称： $\displaystyle \_\_\_\_$数学分析

$$
a_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ; b_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ;(n \rightarrow \infty)(10 \text { 分 })
$$

十、设 $f$ 是有界开区域 $\displaystyle D \subset R^{2}$ 上的一致连续函数，证明：
（1）．可将 $f$ 连续延拓到 $D$ 的边界；
（2）．$f$ 在 $D$ 上有界．（15分）

四、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二阶可导，且有

$$
f(0)=f(1)=0, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1 .
$$

证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1), \ni f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．（15 分）