📝 南京理工大学 2026年高等代数真题

1．多项式 $x^{n}+2026=a_{0}+a_{1}(x+1)+\cdots+a_{n}(x+1)^{n}$ ，则 $a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．未知．

3．三条直线 $a_{i} x+b_{i} y+c_{i}=0$ 满足 $a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \neq 0$ ，记 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, a_{2}\right), \beta=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), \gamma=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ ，则三条直线相交于一点的充要条件是 $\_\_\_\_$ ．
A．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关．
B．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，$\alpha, \beta$ 线性无关．
C．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关．
D．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，且任意两个都线性无关．

4．$A$ 为 3 阶可逆矩阵，$A^{*}=2 A^{\mathrm{T}}$ ，求 $|A|=$ $\_\_\_\_$ ．

5．未知．

6．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$ ，满足 $A^{n}=E_{2}$ 的最小正整数 $n$ 为 $\_\_\_\_$ .

7．$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 的解空间为 $V_{1}, x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ 的解空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 的维数 $\_\_\_\_$ ．

8．$\sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{2 n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ 为二次型，其中 $a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}0, & i+j \text { 为偶数；} \\ 1, & i+j \text { 为奇数．}\end{array} .\right.$.

二．$\displaystyle f(x)=x^{4}+(m+1) x^{3}-(2 m+1) x^{2}+\left(m^{2}+m\right) x+m, g(x)=x^{4}+m x^{3}-x^{2}+m x+m$ ．问 $\displaystyle f(x), g(x)$是否存在公共的有理根？若有，求出所有的 $m$ ，若没有，给出理由．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：$A$ 可以化成一个正定矩阵与一个正交矩阵的乘积．

八．$A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\displaystyle 1,-1$ 不是 $A$ 的特征值．
（1）求证：$\displaystyle A^{2}-E$ 是可逆矩阵．
（2）证明：存在次数小于等于 $\displaystyle n-1$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(A)=\left(A^{2}-E\right)^{-1}$ ．

六．设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ．记 $\displaystyle X=\{A \mid A J=J A\}$ ．
（1）证明 $X$ 为线性空间．
（2）证明 $\displaystyle E, J, J^{2}$ 为 $X$ 的一组基，并求其对偶基．

四．$n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ．