📝 吉林大学 2026年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left[\sin \left(\tan \frac{1}{n}\right)-\sin \frac{1}{n}\right]$ ．

2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{(3 n)!}}{n^{3}}$ ．

3． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1}-\frac{\ln (n!)}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \sqrt[k]{k^{2}+\sin k}\right]$ ．

4． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{\cos x}\right) \tan x^{2}}{\int_{x^{2}}^{x} \ln \left(1+t^{3}\right) d t}$ ．

5． $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ．

6．设 $u, v$ 是由 $\left\{\begin{array}{l}u^{2}-v=3 x+y \\ u-2 v^{2}=x-2 y\end{array}\right.$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$ ．

7．计算 $\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $D$ 是两个球 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}, x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2} \leq R^{2}$ 的公共部分。

8．计算第二型曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x+(1-x) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ ，方向取顺时针．

七．假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上四次连续可微，设

$$
g(x)=\frac{f(0)}{2}(x-1)(x-2)-f(1) x(x-2)+\frac{f(2)}{2} x(x-1) .
$$

（1）证明：任给 $\displaystyle x \in[0,2]$ ，都存在 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ ，使得

$$
f(x)-g(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime}(\xi)}{6} x(x-1)(x-2) .
$$

（2）证明：存在 $\displaystyle \eta \in(0,2)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{2}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=-\frac{1}{90} f^{\prime \prime \prime \prime}(\eta)$ ．
（3）定义

$$
\varepsilon_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{3 n} \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(\frac{2(i-1)}{n}\right)+4 f\left(\frac{2 i-1}{n}\right)+f\left(\frac{2 i}{n}\right)\right] .
$$

证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{4} \varepsilon_{n}=-\frac{1}{180}\left[f^{\prime \prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(0)\right]$ ．

三．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin n x \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上逐点收敛但不一致收敛．

二．当 $\displaystyle x, y, z$ 都大于 0 时，求 $\displaystyle u=\ln x+2 \ln y+3 \ln z$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$ 上的最大值．

五．讨论参数 $p$ 对广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \left(x-\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性影响，何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散？

六．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上有定义，且存在常数 $L$ ，使得对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ ，都有

$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L\left|x_{1}-x_{2}\right|
$$

试证存在 $\displaystyle X \in[1,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(x)}{x+\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ 在 $\displaystyle [X,+\infty)$ 上一致连续．

四．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n-1)}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$ 的和．