📝 哈尔滨工业大学 2009年数学分析真题
第0题
2．证明极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)
$$
存在．
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)
$$
存在．
第0题
3．证明
$$
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x
$$
收玫，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
$$
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x
$$
收玫，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
第0题
1.
$$
\sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x
$$
$$
\sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x
$$
第0题
2.
$$
\mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x
$$
$$
\mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x) \leqslant 9 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x+2 \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \cos x \mathrm{~d} x
$$
第0题
1.
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
$$
收玫。
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
$$
收玫。
第0题
2.
$$
-2009 \leqslant \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \leqslant 2009
$$
$$
-2009 \leqslant \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \leqslant 2009
$$
第0题
2．求函数
$$
u=x-2 y+2 z
$$
在 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．
$$
u=x-2 y+2 z
$$
在 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．
第0题
2．计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}
$$
其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $z \geqslant 0$ 部分．
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}
$$
其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $z \geqslant 0$ 部分．
第0题
3．计算
$$
\int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $(1,1,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的部分．
$$
\int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $(1,1,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的部分．
第0题
三．（15 分）设 $\displaystyle f_{0}(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, x \in[0,1]$ ．记
$$
f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t(n=0,1,2, \cdots)
$$
则在 $\displaystyle [0,1]$ 上 $\displaystyle \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 有定义且连续，并求出 $\displaystyle \phi(x)$ 的简单表达式．
$$
f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t(n=0,1,2, \cdots)
$$
则在 $\displaystyle [0,1]$ 上 $\displaystyle \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 有定义且连续，并求出 $\displaystyle \phi(x)$ 的简单表达式．
第0题
九．（15 分） 1 ．讨论函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
在 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
2．求函数
$$
u=x-2 y+2 z
$$
在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
在 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
2．求函数
$$
u=x-2 y+2 z
$$
在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．
第0题
十．（15 分） 1 ．求 $\displaystyle f(x)$ 使曲线积分
$$
\int_{\overparen{A B}}(\sin x-f(x)) \frac{y}{x} \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y
$$
与路径无关，这里 $\displaystyle \widehat{A B}$ 不通过 $y$ 轴．
2．计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分．
3．计算
$$
\int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle \Gamma$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $\displaystyle (1,1,0)$ 到 $\displaystyle (1,1,1)$ 的部分．
$$
\int_{\overparen{A B}}(\sin x-f(x)) \frac{y}{x} \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y
$$
与路径无关，这里 $\displaystyle \widehat{A B}$ 不通过 $y$ 轴．
2．计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分．
3．计算
$$
\int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle \Gamma$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $\displaystyle (1,1,0)$ 到 $\displaystyle (1,1,1)$ 的部分．