📝 哈尔滨工业大学 2020年数学分析真题

1．$f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域上无界，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷大．

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无穷多个子列都收玫于 $a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a$ ．

3．设 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 上处处可导，则 $f^{\prime}(x)$ 有界．

4．非负数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle u_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。

5．设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数都存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续．

1．$\sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上有界，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

2． $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上存在，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

2．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $x>0$ 上的一致收敛性．

1．证明：方程 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的充分小邻域上确定唯一的连续函数 $y=y(x)$ ，使得 $y(0)=0$ ．

2．讨论 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的可微性．

3．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．