📝 哈尔滨工程大学 2014年高等代数真题
第0题
七、设 $n$ 阶实对称阵 $A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 满足 $\displaystyle 1<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} \leq 2$ ，求证：对任意零实向量 $X$ ，总有 $\displaystyle X^{T} X<X^{T} A X<2 X^{T} X$ ．
第0题
三、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（ $\displaystyle n>1$ ），求证：
（1）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在 $n$ 行 1 列矩阵 $B$ 和 1 行 $n$ 列矩阵 $C$ ，使 $\displaystyle A=B C$ ；
（2）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=1$ ，则 $\displaystyle A^{n}=A$ ．
（1）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在 $n$ 行 1 列矩阵 $B$ 和 1 行 $n$ 列矩阵 $C$ ，使 $\displaystyle A=B C$ ；
（2）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=1$ ，则 $\displaystyle A^{n}=A$ ．
第0题
二、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 的一个线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 的一组基， $\displaystyle \mathcal{A}\left(\alpha_{1}\right)=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}$
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量；
（3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。
（1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量；
（3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。
第0题
五、设有向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,2), \quad \alpha_{2}=(3, a+4,2 a+5, a+7), \quad \alpha_{3}=(4,6,8,10)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(2,3,2 a+3,5)$ ，当 $\displaystyle a, b$ 如何取值时，$\displaystyle \beta=(0,1,3, b)$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示？
第0题
八、求证：在 $n$ 维欧式空间中，两两夹角成钝角的元素不多于 $\displaystyle n+1$ 个．
第0题
六、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 的子空间．
（1）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, ~ V_{2} \cap V_{3}=\{0\}, ~ V_{3} \cap V_{1}=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例；
（2）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, V_{3} \cap\left(V_{1}+V_{2}\right)=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例．
（1）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, ~ V_{2} \cap V_{3}=\{0\}, ~ V_{3} \cap V_{1}=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例；
（2）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, V_{3} \cap\left(V_{1}+V_{2}\right)=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例．
第0题
四、设 $\displaystyle V=\left\{A \mid \operatorname{tr}(A)=0, A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\right\}$
（1）求证：按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间；
（2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} V$ ，找出 的一组基，并用基的定义说明找出矩阵是 的基．
（1）求证：按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间；
（2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} V$ ，找出 的一组基，并用基的定义说明找出矩阵是 的基．
第1题
1．当 $\displaystyle a, b$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+4 a x=b$ 有重根．
第2题
2．$n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccc}5 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 5\end{array}\right|$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第3题
3．设 $A$ 为 $n$ 阶反对称阵，$\displaystyle \alpha$ 是 $n$ 维单位列向量，则 $\displaystyle \alpha^{T}(A-E) \alpha=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第4题
4．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩为3，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}$ 的秩为4，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}-\alpha_{4}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．．
第5题
5．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ， $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，则方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第6题
6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \quad A\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 1\end{array}\right) \quad$ 到基 （II）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 0\end{array}\right) \quad B_{4}^{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{0} & 1\end{array}\right) \quad \text { 的过渡矩阵为 }}$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
第7题
7．当 $a$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}$ 正定．
第8题
8．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第9题
9．设 $A$ 为 3 阶奇异阵，$\displaystyle A+E$ 的行向量组线性相关，秩 $\displaystyle (A+2 E)=2$ ，则 $\displaystyle |A+3 E|=$
$\displaystyle \_\_\_\_$。
$\displaystyle \_\_\_\_$。
第10题
10．在向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中规定内积（不一定是标准内积）后得到欧式空间 $V$ ，且 $V$ 的基
$\displaystyle \alpha_{1}=(2,1), \alpha_{2}=(3,2)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 17\end{array}\right)$ ，则基 $\displaystyle e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
$\displaystyle \alpha_{1}=(2,1), \alpha_{2}=(3,2)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 17\end{array}\right)$ ，则基 $\displaystyle e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．