📝 哈尔滨工程大学 2018年高等代数真题

1．求

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
5 & -1 & -2 & -3 & -4 \\
1 & 5 & -1 & -2 & -3 \\
2 & 1 & 5 & -1 & -2 \\
3 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 5
\end{array}\right)
$$

的伴随矩阵的所有元素之和．

2．设 $f(x)$ 为多项式，$k$ 为 $1,2,3,4, \cdots, f(k)=\sum_{m=1}^{k} m^{5}$ ，求 $f(-3)$ ．
3 ．求 $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+\cdots+x_{98} x_{99}$ 的正惯性指数．

4．已知 $x^{3}+3 x+a x=1$ 的三个根成等差数列，求 $a$ ．
5 ．求

$$
\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right)^{99}
$$

七、 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, a_{11}+a_{22}+a_{33}=2, A$ 的秩为1，证明 $A$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & & \\ & 0 & \\ & & 2\end{array}\right)$ 相似．

三、 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1+a_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_{2} & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_{3} & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n}\end{array}\right|, a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$ ，求证：

$$
D_{n}=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\left(1+\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right)
$$

二、已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的三个根， $\displaystyle g(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-c$ ，其中，$\displaystyle y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 为 $\displaystyle g(y)$ 的三个根．证明：
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1} x_{2} x_{3}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{5}+y_{1} y_{2} y_{3}$.

五、用配方法化 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 为标准形，并写出相应的线性变换．

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换 $\displaystyle T(x)=A x$ 。证明：
（1）若 $A$ 是正交矩阵，则 $T$ 是正交变换；
（2）若 $A$ 是对称矩阵，则 $T$ 是对称变换．

六、 $\displaystyle A=($ ，
（1）求 $A$ 和 $\displaystyle A^{*}$ 的秩；
（2）证明 $A$ 的列向量都是 $\displaystyle A^{*} x=0$ 的解．

十、定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 上的线性变换 $\displaystyle T f(x)=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ．
（1）求 $T$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 下的矩阵；
（6）证明 $\displaystyle \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)=\mathbb{R}[x]_{3}$ ．

四、已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性无关。

4．$\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 为3阶可逆矩阵，$\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 2\end{array}\right), Q=\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle Q^{-1} A Q=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

5．欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 的度量矩阵为
$\displaystyle \_\_\_\_$。