📝 哈尔滨工程大学 2019年高等代数真题

1．$x^{2}+x+1$ 除 $x^{1999}+x^{2009}+x^{2019}$ 所得余式为 $\_\_\_\_$。

2．$\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=3,\left|\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right|=2$ ，则 $\left|\begin{array}{ccccc}0 & 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ b_{11} & b_{12} & 0 & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

3．$A P=P B, B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), P=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{2019}=$ $\_\_\_\_$。

4．在 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & 1\end{array}\right), \alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$ 的秩为
$\_\_\_\_$。

5．若 $P$ 为正交阵，$\lambda$ 为 $P$ 的实特征值，则 $\lambda^{2}=$ $\_\_\_\_$。

七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$.
（1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．

三、设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{T} A\right)=r(A)$ 。（15 分）

九、（15 分）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A+B=E, A B=O, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ ， $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid B x=0\right\}$.
（1）求证：$\displaystyle B A=O$ ；
（2）求证：秩 $\displaystyle (B)=n-$ 秩 $\displaystyle (A)$ ；
（3）求证：$\displaystyle R(A)=\operatorname{Ker}(B)$ ．

二、（15 分）判断题（正确的给出证明，错误的举出反例）
（1）方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ 。

五、（15 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 的特征值和 3 个线性无关的特征向量；
（2）求 $\displaystyle A^{100}$ ．

八、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关，$\displaystyle A \alpha_{i}=\alpha_{i}(i=1,2,3)$ ， $\displaystyle A \beta_{j}=2 \beta_{j}(j=1,2)$ ．证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关．

六、（15 分）在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 上定义内积：
$\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x+1, f_{3}(x)=x-1$ ，求 $\displaystyle L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right)=\left\{k_{1} f_{1}(x)+k_{2} f_{2}(x)+k_{3} f_{3}(x) \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{R}\right\}$ 的标准正交基．

十、（10 分）$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶对称矩阵，求证：存在同一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时化为对角阵．

四、 $\displaystyle a, b$ 取何值时，方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+b x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}+3 b x_{2}+x_{3}=9\end{array}\right.$ 有无解？有唯一解？有无穷解？并求出有无穷解时的通解。（15 分）