📝 安徽师范大学 2014年数学分析真题

一，（18 分）求：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ；

七，（12 分）考查函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ 的单调区间．

三，（10 分）求数列 $\displaystyle 1, \frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1+\frac{1}{3}, \frac{1}{2}+\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 1+\frac{1}{4}, \frac{1}{2}+\frac{1}{4}, \frac{1}{3}+\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots$ 的聚点．

九，（12 分）求椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的切线与坐标轴所围三角形面积的最小值．

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1+(-1)^{n}}{2014}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ ．

五，（10 分）考察函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2014}+x^{2} e^{n x}}{2014+e^{n x}}$ 的可微性．

八，（12 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\right) e^{-x}$ 的极值．

六，（15 分）求函数 $\displaystyle x^{x^{a}}+x^{a^{x}}+a^{x^{x}}$ 的导函数．

十，（12 分）试比较 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的周长与正弦曲线 $\displaystyle f(x)=\sqrt{a^{2}-b^{2}} \sin \frac{x}{b}$ 在一个周期上弧长的长短．

十一，（12 分）求 $\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n} \cdot(|q|<1)$ ．

十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{s}(x-y-z) d y d z+(y-z-x) d x d z+(z-x-y) d x d y$ ，其中， S为 $\displaystyle |x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 的表面并取外侧．

四，（10 分）证明数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n}\right)$ ．