📝 浙江大学 2026年高等代数真题

1．假如 $A$ 是 4 阶整数矩阵，其有特征值 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ ，那么在复数范围内 $A$ 的相似标准型为 $\_\_\_\_$ ， $\left|2 \sqrt{5} E-A^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 t x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}$ ，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 是正定的，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 的负惯性指数是 1 ．

3．已知 $V$ 是实数域上次数小于等于 3 的多形式组成的线性空间，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，该线性空间中满足 $f(1)=a, f(-1)=0$ 的多项式集合是 $V$ 的子空间，关于内积 $(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 下该子空间的单位正交基为 $\_\_\_\_$ ．

4．已知 $f_{1}=2+2 x^{2}+3 x^{3}, f_{2}=1+x+x^{2}+3 x^{3}, f_{3}=5+x+5 x^{2}+9 x^{3}, f_{4}=2 x+3 x^{3}, W$ 是由它们张成的线性空间，那么从基 $f_{1}, f_{2}$ 到基 $f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ，向量组 $f_{1}, f_{3}-f_{2}, 2 f_{3}+f_{4}$的秩等于 $\_\_\_\_$ ．

5．设矩阵 $A$ 的秩等于 $3, b$ 不等于零，$A X=b$ 有解

$$
X_{1}=(1,-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}, X_{2}=(0,1,-1,0,-2)^{\mathrm{T}}, X_{3}=(-1,1,2,1,3)^{\mathrm{T}} .
$$

那么 $A X=b$ 的通解用 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ，给出一个所有解集合的极大线性无关组 $\_\_\_\_$ ．

1．设 $f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x]$ 是实数域中互素的多项式，证明：$[f(x)]^{2}+[g(x)]^{2}$ 的重根为 $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．

2．令 $V$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 张成的线性空间，$W$ 是线性变换 $\mathscr{T}(X)=A X$ 的核，其中

$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
1 \\
3 \\
6
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
-1 \\
1 \\
2
\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\
2 & -2 & -1 & 2 & 4 \\
3 & -3 & -1 & 4 & 5 \\
1 & -1 & 1 & 1 & 8
\end{array}\right) .
$$

求 $W+V$ 及 $W \cap V$ 的基和维数．

3．已知矩阵 $C$ 的极小多项式为 $(\lambda-a)^{2}(\lambda-b)^{3}(\lambda-c)^{4}$ ，而 $a, b, c$ 是互异的实数．假设

$$
A=C^{4}+C^{3}+C^{2}+C+E, B=C^{4}+2 C^{2}+3 E
$$

证明：$|A+B| \geq|A|+|B|$ ．

4．设 $J=\left(\begin{array}{cc}O & E_{n} \\ -E_{n} & O\end{array}\right), G$ 为所有满足 $g^{\mathrm{T}} J g=J$ 的 $2 n \times 2 n$ 的可逆实矩阵 $g$ 的集合．若由 $n \times n$实矩阵 $A, B, C, D$ 组成的分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 属于 $G$ ，证明：复矩阵 $\sqrt{-1} C+D$ 为可逆矩阵．

5．假如 $A^{*}$ 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ 的伴随矩阵，$A$ 的行列式等于 $-1, \xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是 $A^{*}$ 的对应特征值 $\lambda_{0}$ 的特征向量，求 $A$ 所相似的 Jordan 标准型．

6．假如 $A, B, C$ 是实数域上 $n$ 维线性空间上的线性变换，满足 $(A-B) C=C(A-B)$ ，且 $C$ 是幂零的，如果 $B C-C B=10(A-B)$ ，证明：$A$ 和 $B$ 有相同的迹．