当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
曲线 $y=\displaystyle\frac{1}{x}+\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ 渐近线的条数为 $($
如图，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是（
$(\mathrm{B}) F(3)=\displaystyle\frac{5}{4} F(2)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，令 $u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)$ ，则下列结论正确的是
设曲线 $L: f(x, y)=1$（ $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数）过第 II 象限内的点 $M$ 和第IV象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，$f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 分别表示 $X, Y$ 的概率密度，则在 $Y=y$ 的条件下，$X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为（ ） （A）$f_{X}(x)$ ． （B）$f_{Y}(y)$ ． $(\mathrm{C}) f_{X}(x) f_{Y}(y)$. （D）$\displaystyle\frac{f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}$
$\displaystyle\int_{1}^{2} \displaystyle\frac{1}{x^{3}} \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f(u, v)$ 为二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{x}\right)$ ，则 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
求函数 $f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x^{2} y^{2}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant 0\right\}$ 上的最大值和最小值．
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^{2}-\displaystyle\frac{y^{2}}{4}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧．
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$f(a)=g(a)$ ， $f(b)=g(b)$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．
设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛，其和函数 $y(x)$ 满足
$$
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 .
$$
（I）证明 $a_{n+2}=\displaystyle\frac{2}{n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ ；
（II）求 $y(x)$ 的表达式。
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, \tag{1}\\
x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0, \\
x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0
\end{array}\right.
$$
与方程
$$
\begin{equation*}
x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \tag{2}
\end{equation*}
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解．
设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=-2$ ，且 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_{1}$ 的一个特征向量。记 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{5}-4 \boldsymbol{A}^{3}+\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵。 （I）验证 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征向量，并求 $\boldsymbol{B}$ 的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2-x-y, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1, ~ \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（I）求 $P\{X\gt 2 Y\}$ ；
（II）求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ ．