已知当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^{k}$ 是等价无穷小量，则（） $(\mathrm{C}) k=3, c=4$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x^{2} f(x)-2 f\left(x^{3}\right)}{x^{3}}=$
设 $\left\{u_{n}\right\}$ 是数列，则下列命题正确的是
设 $I=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系为
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再交换 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记 $\boldsymbol{P}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}=($
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 3$ 矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{3}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的 3 个线性无关的解，$k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为
设 $F_{1}(x)$ 与 $F_{2}(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda\gt 0)$ 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量 $T_{1}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 和 $T_{2}=\displaystyle\frac{1}{n-1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} X_{i}+\displaystyle\frac{1}{n} X_{n}$ ，有（ ） $($ C $) E\left(T_{1}\right)\lt E\left(T_{2}\right), D\left(T_{1}\right)\gt D\left(T_{2}\right)$ ． $(\mathrm{D}) E\left(T_{1}\right)\lt E\left(T_{2}\right), D\left(T_{1}\right)\lt D\left(T_{2}\right)$ ．
设 $f(x)=\displaystyle\lim _{t \rightarrow 0} x(1+3 t)^{\displaystyle\frac{x}{t}}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $z=\left(1+\displaystyle\frac{x}{y}\right)^{\displaystyle\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ .
曲线 $\tan \left(x+y+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\mathrm{e}^{y}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的秩为 $1, \boldsymbol{A}$ 的各行元素之和为 3 ，则 $f$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $\_\_\_\_$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^{2}\right)=$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sqrt{1+2 \sin x}-x-1}{x \ln (1+x)}$ ．
已知函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$f(1,1)=2$ 是 $f(u, v)$ 的极值，$z=f(x+y, f(x, y))$ ．求 $\left.\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$ ．
求不定积分 $\displaystyle\int \displaystyle\frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有连续导数，$f(0)=1$ ，且满足 $\iint_{D_{t}} f^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{t}} f(t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D_{t}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant t-x, 0 \leqslant x \leqslant t\}(0\lt t \leqslant 1)$ 。 求 $f(x)$ 的表达式。
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}= (1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(3,4, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示。 （I）求 $a$ 的值； （II）将 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$
（I）求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量；
（II）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
| $X$ | 0 | 1 |
| $P$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{2}{3}$ |
| $Y$ | -1 | 0 | 1 |
| $P$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | $\displaystyle\frac{1}{3}$ |
且 $P\left\{X^{2}=Y^{2}\right\}=1$ ． （I）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布； （II）求 $Z=X Y$ 的概率分布； （III）求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G$ 是由 $x-y=0, x+y=2$ 与 $y=0$ 所围成的三角形区域。 （I）求 $X$ 的概率密度 $f_{X}(x)$ ； （II）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．