如图，曲线段的方程为 $y=f(x)$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上有连续的导数，则定积分 $\displaystyle\int_{0}^{a} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 等于（
在下列微分方程中，以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为任意常数）为通解的是 （ ）
设函数 $f(x)=\displaystyle\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$ ，则 $f(x)$ 有
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界，$\left\{x_{n}\right\}$ 为数列，下列命题正确的是（
设函数 $f$ 连续．若 $F(u, v)=\iint_{D_{u v}} \displaystyle\frac{f\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D_{u v}$ 为图中阴影部分，则 $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial u}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，则在实数域上与 $\boldsymbol{A}$ 合同的矩阵为 $($
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1-\cos [x f(x)]}{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-1\right) f(x)}=1$ ，则 $f(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
微分方程 $\left(y+x^{2} \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 的通解是 $y=$ $\_\_\_\_$ ． □。
设 $z=\left(\displaystyle\frac{y}{x}\right)^{\displaystyle\frac{x}{y}}$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $2,3, \lambda$ ．若行列式 $|2 \boldsymbol{A}|=-48$ ，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=\displaystyle\int_{0}^{t^{2}} \ln (1+u) \mathrm{d} u\end{array}\right.$ 确定，其中 $x(t)$ 是初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}-2 t \mathrm{e}^{-x}=0, \\ \left.x\right|_{t=0}=0\end{array}\right.$ 的解，求 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$.
计算 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x^{2} \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
计算 $\iint_{D} \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ．
设 $f(x)$ 是区间 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数，且 $f(0)=1$ ．对任意的 $t \in[0,+\infty)$ ，直线 $x=0, x=t$ ，曲线 $y=f(x)$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 $f(x)$ 的表达式．
（I）证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\eta \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\boldsymbol{\eta})(b-a)$ ； （II）若函数 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足 $\varphi(2)\gt\varphi(1), \varphi(2)\gt\displaystyle\int_{2}^{3} \varphi(x) \mathrm{d} x$ ，则至少存在一点 $\xi \in(1,3)$ ，使得 $\varphi^{\prime \prime}(\xi)\lt 0$.
设 $n$ 元线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & & \\
a^{2} & 2 a & 1 & & & \\
& a^{2} & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^{2} & 2 a & 1 \\
& & & & a^{2} & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$
（I）证明行列式 $|\boldsymbol{A}|=(n+1) a^{n}$ ；
（II）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_{1}$ ；
（III）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的分别属于特征值 $-1,1$ 的特征向量，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $A\alpha_{3}= {\alpha}_{2}+{\alpha}_{3}$. （I）证明 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关； （II）令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，求 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ ．