当 $x \rightarrow 0^{+}$时，若 $\ln ^{\alpha}(1+2 x),(1-\cos x)^{\displaystyle\frac{1}{\alpha}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小量，则 $\alpha$ 的取值范围是
下列曲线中有渐近线的是
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，$g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在区间 $[0,1]$ 上，
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+7 \\ y=t^{2}+4 t+1\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的曲率半径是
设函数 $f(x)=\arctan x$ ．若 $f(x)=x f^{\prime}(\xi)$ ，则 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\xi^{2}}{x^{2}}=$
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} \neq 0$ 及 $\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ ，则
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 均为3维向量，则对任意常数 $k, l$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+l \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关的
$\displaystyle\int_{-\infty}^{1} \displaystyle\frac{1}{x^{2}+2 x+5} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $f^{\prime}(x)=2(x-1), x \in[0,2]$ ，则 $f(7)=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{2 y z}+x+y^{2}+z=\displaystyle\frac{7}{4}$ 确定的函数，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\left(\displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．
曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$ ，则 $L$ 在点 $(r, \theta)=\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线的直角坐标方程是 $\_\_\_\_$。
一根长度为 1 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho(x)=-x^{2}+2 x+1$ ，则该细棒的质心坐标 $\bar{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $a$ 的取值范围是
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{1}^{x}\left[t^{2}\left(\mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^{2} \ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}$ ．
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^{2}+y^{2} y^{\prime}=1-y^{\prime}$ ，且 $y(2)=0$ ，求 $y(x)$ 的极大值与极小值。
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ 。计算 $\iint_{D} \displaystyle\frac{x \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设函数 $f(u)$ 具有 2 阶连续导数，$z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}
$$
若 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式。
设函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)$ 单调增加， $0 \leqslant g(x) \leqslant 1$ 。证明： （ I ） $0 \leqslant \displaystyle\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \leqslant x-a, x \in[a, b]$ ； （ II ） $\displaystyle\int_{a}^{a+\displaystyle\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)=\displaystyle\frac{x}{1+x}, x \in[0,1]$ ．定义函数列：
$$
f_{1}(x)=f(x), \quad f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \quad \cdots, \quad f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), \quad \cdots
$$
记 $S_{n}$ 是由曲线 $y=f_{n}(x)$ ，直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围平面图形的面积．求极限 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n S_{n}$ ．
已知函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)$ ，且 $f(y, y)=(y+1)^{2}-(2-y) \ln y$ ，求曲线 $f(x, y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为3阶单位矩阵。 （I）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系； （II）求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$ 。
证明 $n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似．