已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^{2}+b x+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^{2}}-1$ 是等价无穷小，则
设 $y_{1}(x), y_{2}(x)$ 是某 2 阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使得 $2 \lambda y_{1}(x)+\mu y_{2}(x)$ 是该方程的解，$\lambda y_{1}(x)-2 \mu y_{2}(x)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x-a z=\mathrm{e}^{y+a z}$（ $a$ 是非零常数）确定，则（ ）。
设线密度为 1 的细直棒的两个端点分别位于点 $(-1,0)$ 和点 $(1,0)$ 处，质量为 $m$ 的质点位于点 $(0,1)$ 处，$G$ 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有定义，则
已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^{3}} \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t, f$ 的反函数为 $g$ ，则
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 上连续，且 $f(x, y)=f(y, x)$ ，则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵。设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶置换矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则 D ． $\boldsymbol{A}^{-1}=-\boldsymbol{A}^{*}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ，若存在矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ ，则
设3阶矩阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{B}^{2}$ ，且 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{B}$ ，则下列结论错误的是 只有零特征值．
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $f(x, y)$ 可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=\pi \mathrm{d} x+3 \mathrm{~d} y$ ．记 $g(x)=f(\ln x, \sin \pi x)$ ，则 $g^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3 a\end{array}\right)$ ．若二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{x}$ 的规范形为 $y_{1}^{2}$ ，则 $a+b=$
（本题满分 10 分） 计算 $I=\displaystyle\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{|x|}^{\sqrt{2-x^{2}}} y \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．
（本题满分 12 分）
已知函数 $g(x)$ 连续．设 $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} g(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
（本题满分 12 分） 已知 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是曲线 $y=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}(x \geq 0)$ 的拐点，$O$ 为坐标原点．记 $D$ 是第一象限中以曲线 $y=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}\left(x \geq x_{0}\right)$ ，线段 $O M$ 及 $x$ 正半轴为边界的无界区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
（本题满分 12 分） 求微分方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}=0(x\gt 2)$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=3}=\displaystyle\frac{1}{2},\left.y^{\prime}\right|_{x=3}=-9$ 的解．
(本题满分 12 分) 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ， 记 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right), \quad G=\left(\alpha_1, \alpha_2\right)$. （1）证明： $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的极大线性无关组； （2）求矩阵 $\boldsymbol{H}$ 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}$ ，并求 $\boldsymbol{A}^{10}$ ．