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概率的统计定义
第 287 题
### 第287题
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(1, \sigma^{2}\right)$ ，其分布函数为 $F(x)$ ，则对任意实数 $x$ ，有
（A）$F(x)+F(-x)=1$ ．
（B）$F(1+x)+F(1-x)=1$ ．
（C）$F(x+1)+F(x-1)=1$ ．
（D）$F(1-x)+F(x-1)=1$ ．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
A \mathrm{e}^{-x}, & x>\lambda, \\
0, & x \leqslant \lambda
$\end{array}(\lambda>0) .\right.$
$$
则概率 $P\{\lambda0)$ 的值
第 289 题
### 第289题
设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，其分布函数为 $\Phi(x)$ ，则随机变量 $Y=\min \{X, 0\}$ 的分布函数 $F(y)$ 为
（A）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & y>0, \\ \Phi(y), & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
（B）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & y \geqslant 0, \\ \Phi(y), & y<0 .\end{array}\right.$
（C）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}0, & y \leqslant 0, \\ \Phi(y), & y>0 .\end{array}\right.$
（D）$F(y)=\left\{\begin{array}{cc}0, & y<0, \\ \Phi(y), & y \geqslant 0 .\end{array}\right.$
第 291 题
### 第291题
设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 均服从分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则
（A）$X_{1}+X_{2}$ 与 $X_{3}+X_{4}$ 同分布．
（B）$X_{1}-X_{2}$ 与 $X_{3}-X_{4}$ 同分布．
（C）$\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 与 $\left(X_{3}, X_{4}\right)$ 同分布．
（D）$X_{1}, X_{2}^{2}, X_{3}^{3}, X_{4}^{4}$ 同分布．
第 292 题
### 第292题
设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从 $P(1)$ 分布，则 $P\{X=1 \mid X+Y=2\}$ 的值为
（A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{6}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ．
第 294 题
### 第294题
设随机事件 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x), Y=-2 X-1$ ，则 $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)=$
（A）$\displaystyle f_{X}\left(-\frac{y+1}{2}\right)$ ．
（B）$\displaystyle f_{X}\left(\frac{y-1}{2}\right)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2} f_{X}\left(-\frac{y+1}{2}\right)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2} f_{X}\left(\frac{y-1}{2}\right)$ ．
第 295 题
### 第295题
现有 10 张奖券，其中 8 张 2 元， 2 张 5 元，今从中一次取三张，则得奖金 $X$ 的数学期望 $E X$ 为
（A） 6 ．
（B） 7.8 ．
（C） 8.4 ．
（D） 9 ．
第 297 题
### 第297题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的方差均为正，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=1$ 的充要条件为
（A）$Y=X+b$（其中 $b$ 为任意常数）．
（B）$D X=D Y=\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．
（C）$D X=D Y=\sqrt{\operatorname{Cov}(X, Y)}$ ．
（D）$D(X+Y)=(\sqrt{D X}+\sqrt{D Y})^{2}$ ．
第 298 题
### 第298题
已知 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，$E X:=E Y=\mu, D X=D Y=\sigma^{2}, X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho \neq 0$ ，则 $X$ 与 $Y$
（A）独立且有相同的分布．
（B）独立且有不同的分布．
（C）不独立且有相同的分布．
（D）不独立且有不同的分布．
第 301 题
### 第301题
设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}$ ， $S^{2}$ ，则可以作出服从自由度为 $n$ 的 $\chi^{2}$ 分布的统计量为
（A）$\displaystyle \frac{\bar{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{n \bar{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{(\bar{X}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
第 303 题
### 第303题
设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, \cdots, X_{n}$ 与 $Y_{1}, \cdots, Y_{n}$ 分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 容量都为 $n$ 的两个相互独立的简单随机样本，样本均值和方差分别为 $\bar{X}, S_{X}^{2} ; \bar{Y}, S_{Y}^{2}$ ，则
（A） $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ．
（B）$S_{X}^{2}+S_{Y}^{2} \sim \chi^{2}(2 n-2)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}} \sim t(2 n-2)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F(n-1, n-1)$ ．
第 306 题
### 第306题
设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N\left(1, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle \frac{X_{1}-X_{2}}{\left|X_{3}+X_{4}-2\right|}$的分布为
（A）$N(0,1)$ ．
（B）$t(1)$ ．
（C）$\chi^{2}(1)$ ．
（D）$F(1,1)$ ．
第 317 题
### 第317题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 | $X$ | -1 | 1 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |,$Y \sim P(\lambda)$ ，令 $Z=X Y$ ，求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ．
第 318 题
### 第318题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-|x|}, & -\infty
第 329 题
### 第329题
设随机变量 $X$ 在数集 $\{0,1,2, \cdots, N\}$ 上等可能分布，求 $N$ 的最大似然估计量．
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\theta^{2}$ | $2 \theta(1-\theta)$ | $\theta^{2}$ | $1-2 \theta$ |, 其中 $\displaystyle \theta\left(0<\theta<\frac{1}{2}\right)$ 是末知
参数，利用总体 $X$ 的样本值 $3,1,3,0,3,1,2,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值．
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总策划：杨沽障