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原函数与不定积分的概念
第 9 题
### 【基础篇】第9题（解答题）
9．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0$ ，证明：当 $x \in(a, b)$ 时，$|f(x)| \leqslant$
$\displaystyle \frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$.
第 9 题
### 【强化篇】第9题（解答题）
9．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，$f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)<0,0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．记曲线 $y= f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的长度为 $a$ ，证明：
（1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得对任意 $x \in(0, \xi)$ ，有 $f^{\prime}(x)>0$ ；
（2）$a<3$ ．
第 9 题
### 【基础篇】第9题（填空题）
9．已知函数 $\displaystyle f(L)=\int_{1}^{r^{2}} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\sqrt{x}} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 9 题
### 【基础篇】第9题（解答题）
9．设 $f(x)$ 有连续导数，$x \in[0,+\infty)$ ，且满足方程
$$
$\int_{0}^{x}(x-1) f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=x$
$$
求函数 $f(x)$ ．
第 94 题
### 第94题
设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 94 题
## 第94题 (高等数学 - 填空题)
设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 95 题
### 第95题
设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
C）答题区
第 95 题
## 第95题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
C）答题区
第 96 题
### 第96题
设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$
$\_\_\_\_$ ．
第 96 题
## 第96题 (高等数学 - 填空题)
设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$
$\_\_\_\_$ ．
第 99 题
### 第99题
设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$
$\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 99 题
## 第99题 (高等数学 - 填空题)
设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$
$\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．