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原函数与不定积分的概念
第 78 题
### 第78题
若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$。
答题区 □
第 78 题
## 第78题 (高等数学 - 填空题)
若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$。
答题区 □
第 8 题
### 【强化篇】第8题（填空题）
8．设 $y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle x=\int_{1}^{y-x} \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4} t\right) \mathrm{d} t$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
### 【基础篇】第8题（选择题）
8．若 $\sqrt{1-x^{2}}$ 是 $x f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=(\quad)$ ．
（A）-1
（B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
（C）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$
（D） 1
第 8 题
### 【强化篇】第8题（解答题）
8．设 $f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
第 8 题
### 【基础篇】第8题（填空题）
8． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec ^{3} \theta \mathrm{~d} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
### 【基础篇】第8题（解答题）
8．已知曲线 $L: y=\mathrm{e}^{-x}(x \geqslant 0)$ ，设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$V$ 是 $L$ 上从点 $A(0,1)$ 到点 $P$ 的一段弧绕 $x$轴旋转一周所得的旋转体体积，当 $P$ 运动到点 $\displaystyle \left(1, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 时，沿 $x$ 轴正向的速度为 1 ，求此时 $V$ 关于时间 $t$ 的变化率．
第 8 题
### 【强化篇】第8题（解答题）
8．设曲线 $y=a x^{2}(x \geqslant 0$ ，常数 $a>0)$ 与曲线 $y=1-x^{2}$ 交于点 $A$ ，过坐标原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=a x^{2}$ 围成一平面图形 $D$ 。
（1）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体体积 $V(a)$ ；
（2）求使 $V(a)$ 为最大值时 $a$ 的值．
第 8 题
### 【基础篇】第8题（选择题）
8．设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则使得 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 成立的条件是在 ［ 0,1 ］上（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
（A）$f(x), g(x)$ 均为增函数
（B）$f(x), g(x)$ 均为减函数
（C）$f(x)$ 为减函数，$g(x)$ 为增函数
（D）$f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数
第 8 题
### 【强化篇】第8题（解答题）
8．设 $y=f(x)$ 是可导的单调函数，$f(a)=0, g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数．证明：
$$
$\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{y} g(t) \mathrm{d} t=x y .$
$$
第 8 题
### 【基础篇】第8题（填空题）
8． $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{x}} \sqrt{1+x^{3}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 8 题
### 【基础篇】第8题（解答题）
8．设曲线 $L$ 过点 $(1,1), L$ 上任一点 $P(x, y)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$ ，且 $|P T|=|O T|$ ，求曲线 $L$的方程．
第 8 题
### 【强化篇】第8题（选择题）
8．已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\displaystyle \Delta y=\frac{x y}{1+x^{2}} \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $y(0)=1$ ，则 $y^{\prime}(1)=$ （ ）．
（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
（B）$\sqrt{2}$
（C） 2
（D） $2 \sqrt{2}$
第 8 题
### 【基础篇】第8题（选择题）
8．设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1,2)$ ，其分布函数和概率密度分别记作 $F(x)$ 和 $f(x)$ ，则下列各选项的性质中错误的是 ．
（A）$f(x)$ 的曲线关于直线 $x=1$ 对称
（B）$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(-\infty, x)$ 上的积分
（C）$F(x)$ 在点 $x=0$ 处的值等于 0.5
（D）概率密度 $f(x)$ 的最大值等于 $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{\pi}}$
第 8 题
### 【强化篇】第8题（解答题）
8．议 $X_{1}, X_{2}$ 为来自总休 $X \sim U[0,2 \theta]$ 的简单随机样本，$Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$ 为来自总体 $Y \sim U[0,4 \theta]$ 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta(\theta>0)$ 是未吅参数。利用样本 $X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\dot{\theta}$ 、并求 $D(\hat{\theta})$ 。
第 80 题
### 第80题
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $\left(3 x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}=6 x y^{\prime}$ 的一个特解，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x)$ 是与 $\mathrm{e}^{x}-1$ 等价的无穷小量，则该特解是 $\_\_\_\_$ ．
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第 80 题
## 第80题 (高等数学 - 填空题)
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $\left(3 x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}=6 x y^{\prime}$ 的一个特解，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x)$ 是与 $\mathrm{e}^{x}-1$ 等价的无穷小量，则该特解是 $\_\_\_\_$ ．
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第 9 题
### 【强化篇】第9题（选择题）
9．设 $f(x)$ 是以 2 为周期的连续函数， $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1, g(x)$ 是过点 $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ 和 $(0,1)$ 的直线，则 $\int_{0}^{2} \mathscr{J}[g(x)] d \tau=(\quad)$.
（A）-2
（B）-1
（C） 1
（D） 2
第 9 题
### 【基础篇】第9题（填空题）
9．曲线 $\displaystyle y=\ln \sin x\left(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．
第 9 题
### 【强化篇】第9题（解答题）
9．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $x f^{\prime}(x)=f(x)+x^{2}$ ．已知曲线 $y=f(x)$ 与 $x=0, x=1, y=0$ 所围的图形 $S$ 面积为 2 。求 $f(x)$ 的表达式，以及图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。