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原函数与不定积分的概念
第 7 题
### 【基础篇】第7题（选择题）
7．设函数 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，若在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内 $g^{\prime}(x) \geqslant 0$ ，则对任意的 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，有 ．
（A） $\displaystyle \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) \mathrm{d} t$
（B） $\int_{x}^{1} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{x}^{1} g(\sin t) \mathrm{d} t$
（C） $\int_{x}^{1} g(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{x}^{1} g(\sin t) \mathrm{d} t$
（D） $\displaystyle \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) \mathrm{d} t$
第 7 题
### 【基础篇】第7题（填空题）
7． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
### 【强化篇】第7题（填空题）
7．已知 $f(x)$ 连续，$f\left(x^{2}+1\right)-f\left(x^{2}\right)=x(x>0), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，则 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
### 【基础篇】第7题（填空题）
7．已知函数 $\displaystyle f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{e}^{t^{2}}}{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
### 【强化篇】第7题（解答题）
7．求曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。
第 7 题
### 【基础篇】第7题（选择题）
7．已知函数 $f(x), g(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x)>0, g^{\prime}(x)<0$ ，则（ ）．
（A） $\int_{-1}^{0} f(x) g(x) \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$
（B） $\int_{-1}^{0}|f(x) g(x)| \mathrm{d} x>\int_{0}^{1}|f(x) g(x)| \mathrm{d} x$
（C） $\int_{-1}^{0} f[g(x)] \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} f[g(x)] \mathrm{d} x$
（D） $\int_{-1}^{0} f[f(x)] \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} g[g(x)] \mathrm{d} x$
第 7 题
### 【基础篇】第7题（填空题）
7．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2}[f(x, y)]}{\partial x \partial y}=1, f(0, y)=\sin y, f(x, 0)= \sin x$ ，则 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
第 7 题
### 【基础篇】第7题（填空题）
7． $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{2}^{y} \frac{y}{\sqrt{1+x^{5}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 7 题
### 【基础篇】第7题（解答题）
7．在 $(0,1)$ 线段上随机投掷两点，该两点的距离为 $X$ ，求：
（1）$X$ 的分布函数 $F(x)$ 和概率密度 $f(x)$ ；
（2）$X$ 的数学期望 $E(X)$ 。
第 70 题
### 第70题
摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．
□
第 70 题
## 第70题 (高等数学 - 填空题)
摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．
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第 71 题
### 第71题
设星形线方程为
$$
$\left\{\begin{array}{l}$
x=a \cos ^{3} t \\
y=a \sin ^{3} t
$\end{array}\right.$
$$
则它所围成的面积 $A$ 为 $\_\_\_\_$ ，它的弧长 $L$ 为 $\_\_\_\_$ ，它绕 $x$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V$ 为 $\_\_\_\_$ ，该旋转体的侧面积 $S=$ $\_\_\_\_$。
第 71 题
## 第71题 (高等数学 - 填空题)
设星形线方程为
$$
$\left\{\begin{array}{l}$
x=a \cos ^{3} t \\
y=a \sin ^{3} t
$\end{array}\right.$
$$
则它所围成的面积 $A$ 为 $\_\_\_\_$ ，它的弧长 $L$ 为 $\_\_\_\_$ ，它绕 $x$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V$ 为 $\_\_\_\_$ ，该旋转体的侧面积 $S=$ $\_\_\_\_$。
第 72 题
### 第72题
设有曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，过原点作其切线，则以曲线、切线及 $x$ 轴所围成平面图形绕 $x$轴旋转一圈所得到的表面积为 $\_\_\_\_$。
答题 区 □
第 72 题
## 第72题 (高等数学 - 填空题)
设有曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，过原点作其切线，则以曲线、切线及 $x$ 轴所围成平面图形绕 $x$轴旋转一圈所得到的表面积为 $\_\_\_\_$。
答题 区 □
第 73 题
### 第73题
已知抛物叶形线的一部分：
$$
y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3)
$$
如图所示，它围成的图形为 $M$ ，则 $M$ 的面积 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$M$ 的质心 （形心）$(\bar{x}, \bar{y})=$ $\_\_\_\_$ ．
第 73 题
## 第73题 (高等数学 - 填空题)
已知抛物叶形线的一部分：
$$
y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3)
$$
如图所示，它围成的图形为 $M$ ，则 $M$ 的面积 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$M$ 的质心 （形心）$(\bar{x}, \bar{y})=$ $\_\_\_\_$ ．
第 74 题
### 第74题
在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（单位： m ），则当液面过点 $(0, y)(-1 \leqslant y \leqslant 1)$ 处水平线时，容器内液体的体积是 $\_\_\_\_$ ，当容器内储满了液体后，以 $0.16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 $y=0$ 时，液面下降的速度为 $\_\_\_\_$ ，如果
液体的密度为 $1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，抽出全部液体所做的功为 $\_\_\_\_$。
第 75 题
### 第75题
设无穷长直线 $L$ 的线密度为 1 ，引力常数为 $k$ ，则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力为 $\_\_\_\_$。
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第 75 题
## 第75题 (高等数学 - 填空题)
设无穷长直线 $L$ 的线密度为 1 ，引力常数为 $k$ ，则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力为 $\_\_\_\_$。
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