原函数与不定积分的概念

### 第63题 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □

## 第63题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □

### 第64题 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

## 第64题 (高等数学 - 填空题) 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第641题 设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则 （A） $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$. （B） $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$. （C） $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$ ． （D） $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$ ．

## 第641题 (高等数学 - 选择题) 设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则 （A） $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$. （B） $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$. （C） $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$ ． （D） $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$ ．

### 第642题 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}, y=x, y=0, z=1$ 在第一卦限所围成的区域，$f(x, y$ ， $z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 等于 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$. （B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （C） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．

## 第642题 (高等数学 - 选择题) 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}, y=x, y=0, z=1$ 在第一卦限所围成的区域，$f(x, y$ ， $z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 等于 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$. （B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （C） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．

### 第65题 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ． □

## 第65题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ． □

### 第652题 设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．

## 第652题 (高等数学 - 选择题) 设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．