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原函数与不定积分的概念
第 45 题
### 【强化篇】第45题（解答题）
45．设 $z=z(x, y)$ 二阶偏导数连续，且 $\left\{\begin{array}{l}u=x+a y, \\ v=x+b y\end{array}(a
第 46 题
### 【强化篇】第46题（填空题）
46．设可导函数 $y=\int(x)$ 单调增加且在 $y$ 轴上的截距为 2 ，其弧长 $s(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{3 t+5} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$的表达式为 $\_\_\_\_$ ．
第 47 题
### 【强化篇】第47题（填空题）
47．微分方程 $2 y^{\prime \prime}=3 y^{2}$ 满足初始条件 $y(-2)=1, y^{\prime}(-2)=1$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．
第 48 题
### 【强化篇】第48题（解答题）
48．设平面曲线 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=0$ ，且对曲线上任意点 $P(x, y)(x>0)$ ，沿曲线
从点 $(0,1)$ 到点 $P(x, y)$ 的弧长等于该曲线在点 $P(x, y)$ 的切线斜率．
（1）求 $y(x)(x>0)$ ；
（2）求 $y(x)$ 与 $x=\ln 2$ 及坐标轴所围平面区域 $D$ 的形心。
第 49 题
### 【强化篇】第49题（解答题）
49．设曲线 $L: r=r(\theta), P(r, \theta)$ 为 $L$ 上任意一点，$P_{0}(2,0)$ 为 $L$ 上的一定点，且曲线 $L$ 与极径 $O P_{0}, O P$ 所围成的曲边扇形面积值等于曲线 $L$ 上 $P_{0}, P$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的方程．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．设正值函数 $f(x)$ 二阶可导且满足 $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}>f(x) f^{\prime \prime}(x)$ ，函数 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值 1 ，证明 $f(x) \leqslant \mathrm{e}^{x}$ ．
第 5 题
### 【基础篇】第5题（选择题）
5．一物体在距离同一水平面上的地面观测器 10 m 处离地匀速铅直上升，其速度为 $a \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．若该物体上升到离地 20 m 时，观测器视线倾角的变化率为 $\displaystyle \frac{1}{10}$ ，则 $a=$ ．
（A） 1
（B） 2
（C） 3
（D） 5
## 第8章 一元函数积分学的概念与性质
第 5 题
### 【基础篇】第5题（选择题）
5．设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 内的正值连续函数，且 $f^{\prime}(x)<0, g(x)=\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)$ 和 $\displaystyle g\left(\frac{3}{2}\right)$ 的可能取值是 ．
（A）$-2,1$
（B）$-2,3$
（C） $2,-1$
（D） $2,-3$
第 5 题
### 【强化篇】第5题（选择题）
5．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\sqrt{2 \pi}} \sin x^{2} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\sin x}$ ，则（ ）
（A）$I_{1}>0, I_{2}>0$
（B）$I_{1}<0, I_{2}<0$
（C）$I_{1}>0, I_{2}<0$
（D）$I_{1}<0, I_{2}>0$
第 5 题
### 【基础篇】第5题（选择题）
5．定积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=(\quad)$ ．
（A） 2
（B） $\displaystyle 2-\frac{4}{\mathrm{e}}$
（C） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$
（D） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$
第 5 题
### 【强化篇】第5题（填空题）
5．曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $y=x^{2}$ 所围平面有界区域绕直线 $y=x$ 旋转一周所得旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．设函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，对任意的 $x \in[a, b]$ ，满足 $\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，且 $\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ ．
第 5 题
### 【基础篇】第5题（解答题）
5．在一个高为 1 m 的圆柱形容器内储存某种液体，并将容器横放．底面圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=$ 1 （单位：m）．如果容器内存满了液体后，以 $0.2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速率将液体从容器顶端抽出。
（1）当液面在 $y=0$ 时，求液面下降的速率；
（2）如果 $1 \mathrm{~m}^{3}$ 液体所受重力为 1 N ，求抽完全部液体需做多少功？
第 5 题
### 【强化篇】第5题（填空题）
5．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 与直线 $x=1, x=-1$ 及 $x$ 轴所围平面有界区域 $D$ 的形心为 $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【基础篇】第5题（填空题）
5．设 $F(x, y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（解答题）
5．求抛物面 $\Sigma: z=x^{2}+y^{2}$ 上的点到空间图形 $\Omega: x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1$ 的形心的最短距离．
第 5 题
### 【基础篇】第5题（填空题）
5．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0E(X)\}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 5 题
### 【强化篇】第5题（填空题）
5．设随机变量 $X$ 在 $[0,2]$ 上服从均匀分布，$Y$ 服从参数为 $\lambda=2$ 的指数分布，且 $X, Y$ 相互独立，则关于 $a$ 的方程 $a^{2}+X a+Y=0$ 有实根的概率为 $\_\_\_\_$ （答案用标准正态分布的分布函数 $\Phi(x)$ 表示）。
第 50 题
### 【强化篇】第50题（解答题）
50．设第一象限中有一光滑凹曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于 $(1,0)$ ，其上任意两点 $A, B$ 之间的弧长等于曲线在 $A, B$ 点的切线在 $y$ 轴上的截距之间的距离，求 $f(x)$ 的表达式。
第 51 题
### 第51题
$\int f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}+C, f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．