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原函数与不定积分的概念
第 35 题
### 【基础篇】第35题（填空题）
35． $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}+2 x-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 36 题
### 【基础篇】第36题（填空题）
36． $\int_{0}^{+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)^{2} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
## 第10章 一元函数积分学的应用（一）——几何应用
第 37 题
### 第37题
设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
第 37 题
## 第37题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
第 38 题
### 第38题
设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$
$\_\_\_\_$。
第 38 题
## 第38题 (高等数学 - 填空题)
设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$
$\_\_\_\_$。
第 38 题
### 【强化篇】第38题（解答题）
38．若 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+x^{2}+x^{3}+o\left(x^{3}\right)(x \rightarrow 0), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{f(x)-f(0)}, & x \neq 0, \\ a, & x=0,\end{array}\right.$ 且 $g(x)$ 连续．
（1）求 $a$ 的值；
（2）当 $x \rightarrow 0$ 时，计算 $g(x)$ 到 3 阶的带佩亚诺余项的泰勒公式。
第 39 题
### 【强化篇】第39题（选择题）
39．若微分方程 $y^{\prime}+p y=\mathrm{e}^{q x}$ 的任何积分曲线均有拐点，则（ ）。
（A）$p+q>0$
（B）$p+q<0$
（C）$p=-q \neq 0$
（D）$p+q \neq 0, p q \neq 0$
第 4 题
### 【强化篇】第4题（选择题）
4．下列各式不成立的是（ ）。
（A） $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$
（B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{12} x \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$
（C） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x \leqslant \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$
（D） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x<\int_{-2}^{2} x^{3} 2^{x} \mathrm{~d} x$
第 4 题
### 【基础篇】第4题（解答题）
4．计算不定积分 $\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ ．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（解答题）
4．设函数 $f(x)$ 荫足方程 $x f(x)+f(1-x)=x^{2}$ ，求 $\int f(x) \mathrm{d} x$ ．
第 4 题
### 【基础篇】第4题（解答题）
4．设 $f(x)$ 连续，证明： $\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{t} f(u) \mathrm{d} u\right] \mathrm{d} t=\int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t$ ．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（解答题）
4．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} x=1-\sin 1$ ．
第 4 题
### 【基础篇】第4题（解答题）
4．有一内表面为旋转抛物面的水缸，其深为 $a$（单位：米），缸口直径为 $2 a$（单位：米），缸内盛满了水，设水的密度为 $\rho$（单位：千克／立方米）。若以每秒 $Q$ 立方米的速率将缸中的水全部抽出，问：
（1）共需多少时间？
（2）需做多少功？
第 4 题
### 【强化篇】第4题（解答题）
4．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数且其在 $[0,1]$ 上的平均值 $\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{2}$ ，满足 $f(x)+a \int_{1}^{x} f(y) f(y-$ x） $\mathrm{d} y=1$ ，求常数 $a$ 的值．
第 4 题
### 【强化篇】第4题（解答题）
4．将长度为 1 的铁丝沿其上任一点折成两段，较短的一段长度记为 $X$ ，并以这两段作为矩形的两条边，记矩形面积为 $Z$ ，求：
（1）$X$ 的概率密度；
（2）$E(Z)$ ．
## 第4章 随机变量的数字特征
第 4 题
### 【强化篇】第4题（填空题）
4．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$Y=\max _{2 \leqslant i \leqslant n}\left\{X_{i}\right\}$ ，已知 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-x}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $P\left\{X_{1} Y-Y<0\right\}=$ $\_\_\_\_$。
第 41 题
### 【强化篇】第41题（选择题）
41．已知 $\displaystyle F(a, b)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a \sin x-\sin ^{2} x+b\right)^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ，则使得 $F(a, b)$ 取得最小值的 $a, b$ 分别为 ）．
（A） $\displaystyle 1, \frac{1}{6}$
（B） $\displaystyle 1,-\frac{1}{6}$
（C）$\displaystyle -1, \frac{1}{6}$
（D）$\displaystyle -1,-\frac{1}{6}$
第 41 题
### 【强化篇】第41题（填空题）
41．设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续且满足 $f(x+\pi)=-f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2 n}=$ $\_\_\_\_$ $(n=1,2, \cdots)$ 。
第 44 题
### 【强化篇】第44题（解答题）
44．已知 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有二阶连续导数，且 $\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．求 $f(u)$ 的表达式．