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原函数与不定积分的概念

考研数学一基础题库 · 共 372 道习题 · 第9页/共19页

## 第21题 (高等数学 - 填空题) 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第21题（填空题） 21．已知 $x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一个原函数，则 $\int f(\ln x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第21题（填空题） 21． $\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^{5} \frac{1}{\sqrt{\left|x^{2}-9\right|}} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设函数 $x=x(y)$ 满足 $\displaystyle y=\int \frac{4 y^{3}}{4-y^{6}} \mathrm{~d} x, L$ 为曲线 $x=x(y)(-2 \leqslant y \leqslant-1)$ ，且 $\displaystyle x(-1)=-\frac{9}{16}$ ，记 $L$ 的长度为 $s$ ，求：（1）$s$ ；（2）$x$ 的最大值．

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．已知函数 $f(x), g(x)$ 满足方程 $f^{\prime}(x)-g(x)=\mathrm{e}^{x}$ 及 $g^{\prime}(x)-f(x)=0, f(0)=g(0)=0$ ，计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}}\left[f^{\prime}(x)-2 x g^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x$ ．

### 【强化篇】第21题（解答题） 21．已解随机变量 $X$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(0

### 第210题半圆形闸门半径为 $R$（米），将其垂直放人水中，且直径与水面齐．设 $\rho g=1$ 。若坐标原点取在圆心，$x$ 轴正向朝下，则闸门所受压力 $p$ 为（A） $\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．（B） $\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$. （C） $\int_{0}^{R} 2 x \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．（D） $\int_{0}^{R} 2(R-x) \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

## 第210题 (高等数学 - 选择题) 半圆形闸门半径为 $R$（米），将其垂直放人水中，且直径与水面齐．设 $\rho g=1$ 。若坐标原点取在圆心，$x$ 轴正向朝下，则闸门所受压力 $p$ 为（A） $\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．（B） $\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$. （C） $\int_{0}^{R} 2 x \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．（D） $\int_{0}^{R} 2(R-x) \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）

### 第212题设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的（A）必要非充分条件．（B）充分非必要条件．（C）充分且必要条件．（D）既不充分也不必要条件．

## 第212题 (高等数学 - 选择题) 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的（A）必要非充分条件．（B）充分非必要条件．（C）充分且必要条件．（D）既不充分也不必要条件．

### 第215题设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $$ x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} $$ 则可得（A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty)),(C$ 为任意常数）．（B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ．（C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）．（D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．

## 第215题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $$ x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} $$ 则可得（A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty)),(C$ 为任意常数）．（B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ．（C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）．（D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．

### 第216题设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是（A） $1-3 x+4 x^{3}$ ．（B） $1-4 x+3 x^{3}$ ．（C） $1+3 x-4 x^{3}$ ．（D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．

## 第216题 (高等数学 - 选择题) 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是（A） $1-3 x+4 x^{3}$ ．（B） $1-4 x+3 x^{3}$ ．（C） $1+3 x-4 x^{3}$ ．（D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．

### 【基础篇】第22题（填空题） 22． $\int_{-\infty}^{+\infty}|x| \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设 $f(x)=x, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & x \leqslant \pi, \\ 0, & x>\pi,\end{array}\right.$ 求 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) g(x-t) \mathrm{d} t(x \geqslant 0)$ ．

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设平面区域 $D$ 由 $y=0, y=a, x=0, x=\sqrt{a^{2}+y^{2}}$ 围成 $(a>0)$ 。求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所生成的旋转体的体积 $V$ ，以及旋转体的表面积 $S$（表面积 $=$ 侧面积 + 上下底面积）。

### 【强化篇】第22题（填空题） 22． $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{4}-y^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第224题微分方程 $\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+(2 x y-\cos y) \mathrm{d} y=0$ 的通解是（A）$y^{2} x-\sin y=C$ ．（B）$y^{2} x-\cos y=C$ ．（C）$\left(y^{2}-1\right) x-\cos y=C$ ．（D）$\left(y^{2}-1\right) x-\sin y=C$ ．其中 $C$ 为任意常数． □

### 【基础篇】第23题（选择题） 23．下列命题中不成立的是（）。（A）若 $f(x)$ 连续，$x \in[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 必为 $f(x)$ 的原函数（B）若 $f(x)$ 可积，$x \in[a, b]$ ，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在原函数（C）若 $f(x)$ 连续，且为奇函数，$x \in[-a, a]$ ，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$ （D）若 $f(x)$ 连续，$T$ 为其周期，则 $\int_{a}^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$

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