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原函数与不定积分的概念
第 2 题
### 【强化篇】第2题（解答题）
2．已每微分方程 $y^{\prime}+y=e^{(m) ~} 2$ ，证明方程存在唯一的以 $2 \pi$ 为周期的解。
第 2 题
### 【基础篇】第2题（填空题）
2．设可微函数 $z=f(x, y)$ 的图形与 $x O y$ 面的交线方程为 $y=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t+x$ ，且 $f_{x}^{\prime}(0,0)=1$ ，则 $f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 2 题
### 【基础篇】第2题（填空题）
2．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2} \leqslant y \leqslant x, 0 \leqslant z \leqslant 2-x-y\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{e}^{y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
第 2 题
### 【强化篇】第2题（填空题）
2．设曲线 $L$ 的方程为 $2 x=y^{2}(0 \leqslant y \leqslant 1)$ ，则 $\int_{L} y \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
第 20 题
### 第20题
设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）
◯纠错笔记
第 20 题
## 第20题 (高等数学 - 填空题)
设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数）
◯纠错笔记
第 20 题
### 【强化篇】第20题（填空题）
20．设当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=\int_{0}^{x} \sin (t x)^{2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^{n}$ 是同阶无穷小，则正整数 $n=$ $\_\_\_\_$ ．
第 20 题
### 【基础篇】第20题（选择题）
20．设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+x^{2}} \cos ^{5} x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{2} \sin x+\sin ^{2} x \cos x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{3} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$ ，则有 （ ）．
（A）$N
第 20 题
### 【强化篇】第20题（解答题）
20．设 $|x| \leqslant 1$ ，求积分 $I(x)=\int_{-1}^{1}|t-x| \mathrm{e}^{2 t} \mathrm{~d} t$ 的最大值．
第 20 题
### 【基础篇】第20题（解答题）
20．求常数 $a(a>0)$ ，使曲线 $y=a\left(1-x^{2}\right)$ 与其在 $(-1,0)$ 及 $(1,0)$ 两点处的法线所围成图形的面积最小。
第 20 题
### 【强化篇】第20题（填空题）
20． $\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 205 题
### 第205题
曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$
（A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
第 205 题
## 第205题 (高等数学 - 选择题)
曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$
（A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
第 206 题
### 第206题
由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是
（A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$ ．
第 206 题
## 第206题 (高等数学 - 选择题)
由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是
（A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$ ．
第 207 题
### 第207题
曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长为
（A）$s=\int_{0}^{\alpha} a \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
（B）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)} \mathrm{d} \theta$ ．
（C）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
（D）$s=\int_{0}^{a} a b \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
第 207 题
## 第207题 (高等数学 - 选择题)
曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长为
（A）$s=\int_{0}^{\alpha} a \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
（B）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)} \mathrm{d} \theta$ ．
（C）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
（D）$s=\int_{0}^{a} a b \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
第 208 题
### 第208题
旋轮线的一支 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的质心是
（A）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{4}{3} a\right)$ ．
（B）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{2}{3} a\right)$ ．
（C）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{5}{4} a\right)$ ．
（D）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{7}{4} a\right)$ ．
## （－）纠错笔记
第 208 题
## 第208题 (高等数学 - 选择题)
旋轮线的一支 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的质心是
（A）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{4}{3} a\right)$ ．
（B）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{2}{3} a\right)$ ．
（C）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{5}{4} a\right)$ ．
（D）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{7}{4} a\right)$ ．
## （－）纠错笔记
第 21 题
### 第21题
已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．