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原函数与不定积分的概念

考研数学一基础题库 · 共 372 道习题 · 第5页/共19页

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．已知函数 $y=y(x)$ 满足 $$ x(\ln x-1) y^{\prime}(x)+\left(3-\ln x^{2}\right) y(x)=0, x>\mathrm{e}, $$ 且 $\displaystyle y\left(\mathrm{e}^{2}\right)=\frac{\mathrm{e}^{4}}{2}$ ，求 $y=y(x)$ 的最小值．

### 【基础篇】第17题（选择题） 17．若函数 $y(x)=\int_{2}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2}[y(x)]}{\mathrm{d} x^{2}}\right|_{x=-1}=$ ）．（A） 0 （B） 1 （C） $4 e^{-1}$ （D） 4 e

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $\displaystyle \int_{1}^{y} \frac{d r}{\sqrt{2 x-x^{2}}}$

### 【基础篇】第17题（填空题） 17．曲线 $y=x^{2}$ 从点 $(1,1)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第17题（填空题） 17．已知函数 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上连续，在 $\displaystyle \left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内是函数 $\displaystyle \frac{\cos x}{2 x-3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第17题（填空题） 17．设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime}+2(\ln x+1) y=0, y(1)=1$ ，则 $y(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第176题设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内（A）可导．（B）连续．（C）存在原函数．（D）是初等函数．

## 第176题 (高等数学 - 选择题) 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内（A）可导．（B）连续．（C）存在原函数．（D）是初等函数．

### 第177题设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 1, \quad x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数．（B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数．（C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ．（D）在 $[-1,1]$ 不可积．

## 第177题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 1, \quad x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数．（B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数．（C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ．（D）在 $[-1,1]$ 不可积．

### 第178题设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时（A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ．（B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ．（D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．

## 第178题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时（A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ．（B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ．（D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．

### 第179题考察下列叙述：（1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续．（2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续．（3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分．我们可知（A）只有（1），（2）正确．（B）只有（2），（3）正确．（C）只有（2），（4）正确．（D）只有（3），（4）正确．

## 第179题 (高等数学 - 选择题) 考察下列叙述：（1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续．（2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续．（3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分．我们可知（A）只有（1），（2）正确．（B）只有（2），（3）正确．（C）只有（2），（4）正确．（D）只有（3），（4）正确．

### 【基础篇】第18题（选择题） 18．定积分 $\displaystyle I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值满足（）。（A） $\displaystyle 0 \leqslant I \leqslant \frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \leqslant I \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant I \leqslant 1$ （D） $1 \leqslant I \leqslant 2 \sqrt{2}$

### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已知函数 $f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $n$ 为非负整数，则 $\int_{0}^{1} x^{2} \ln ^{n} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第18题（填空题） 18．函数 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 在区间 $[0,1]$ 的平均值为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $f(x)=\int_{-1}^{x} t|t| \mathrm{d} t$ ，求曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的封闭图形的面积．

### 【基础篇】第18题（解答题） 18．计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

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