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原函数与不定积分的概念
第 14 题
### 【强化篇】第14题（填空题）
14．已矢函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内是函数 $\displaystyle \frac{\sin \pi x}{x}$ 的一个原函数，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
第 14 题
### 【强化篇】第14题（填空题）
14．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\sin (x-y)+\int_{1}^{z} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=0$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$。
第 14 题
### 【强化篇】第14题（填空题）
14． $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-1}^{y} y \sqrt{1+x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 14 题
### 【强化篇】第14题（填空题）
14．已知函数 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime}+2 \sqrt{2} x \sqrt{y}=0$ ，且其积分曲线的拐点的横坐标为 -2 ，则 $y(x)=$
$\_\_\_\_$ ．
第 14 题
### 【基础篇】第14题（解答题）
14．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 00, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
（1）求 $a$ 的值；
（2）若 $Z=2 X+a Y$ ，求 $Z$ 的概率密度．
## 第3章 一维随机变量函数的分布
第 14 题
### 【强化篇】第14题（解答题）
14．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0
第 140 题
### 第140题
设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为
（A）一阶。
（B）二阶。
（C）三阶。
（D）四阶．
第 140 题
## 第140题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为
（A）一阶。
（B）二阶。
（C）三阶。
（D）四阶．
第 15 题
### 【基础篇】第15题（选择题）
15．设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上是连续的偶函数，$a>0, g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| \circ f(t) \mathrm{d} t$ ，则在 $[-a, a]$
）．
（A）$g(x)$ 是单调递增函数
（B）$g(x)$ 是单调递减函数
（C）$g(x)$ 是偶函数
（D）$g(x)$ 是奇函数
第 15 题
### 【强化篇】第15题（解答题）
15．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ ，
第 15 题
### 【基础篇】第15题（填空题）
15．曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2}(x \in[0,1])$ 的长度为 $\_\_\_\_$。
第 15 题
### 【强化篇】第15题（填空题）
15．设函数 $f(x)$ 非负连续，且 $f(x) \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} l=2 x^{2}$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$。
第 15 题
### 【强化篇】第15题（解答题）
15．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z+\ln z-\int_{y}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=1$ 确定的函数，计算 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}$ ．
第 15 题
### 【强化篇】第15题（填空题）
15． $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}}(x+1) y \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 155 题
### 第155题
设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$
（A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
□
第 155 题
## 第155题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$
（A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
（D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
□
第 16 题
### 【基础篇】第16题（选择题）
16．若 $F(x)=\int_{-\pi}^{\pi}|x-t| \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F^{\prime}(0)=$ ．
（A）-4
（B）-2
（C） 2
（D） 4
第 16 题
### 【强化篇】第16题（解答题）
16．求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{5}{4}} \frac{d x}{\sin ^{2} x+3 \cos ^{2} x}$ ，
第 16 题
### 【基础篇】第16题（选择题）
16．设平面 $D$ 是由 $y=\ln x, x=1, y=1$ 围成的第一象限的有界区域，记 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，则（ ．
（A）$\displaystyle V_{1}>\frac{\pi}{2}>V_{2}$
（B）$\displaystyle V_{2}>\frac{\pi}{2}>V_{1}$
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{2}>V_{1}>V_{2}$
（D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}>V_{2}>V_{1}$
第 16 题
### 【强化篇】第16题（填空题）
16．设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数，且满足 $f(x) \int_{1}^{2} f(x t-x) \mathrm{d} t=2 x^{2}, x \in[0,3]$ ，则 $f(x)$在区用 $[1,3]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$。