原函数与不定积分的概念

### 【基础篇】第1题（解答题） 1．计算下列不定积分． （1） $\int \cos ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\int \sin ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\int \sec x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （6） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （7） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （8） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+(x+b)^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （9） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}-(x+b)^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （10） $\displaystyle \int \frac{1}{(x+b)^{2}-a^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （11） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （12） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （13） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （14） $\int \csc ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （15） $\int \tan ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\int \tan ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （17） $\int \tan ^{4} x \mathrm{~d} x$ ； （18） $\int \cot ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle \int \frac{\cos x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle \int \frac{1}{\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle \int \frac{1}{\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle \int \frac{1}{a+b \cos x} \mathrm{~d} x(a>0, b>0)$ ； （24） $\displaystyle \int \frac{1}{a+b \sin x} \mathrm{~d} x(a>0, b>0)$ ．

### 【强化篇】第1题（填空题） 1． $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}+4 x+5}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上与 $x$ 轴所围成图形的面积为 $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $a>0$ ，则在 $[0, a]$ 上方程 $\displaystyle \int_{0}^{x} \sqrt{4 a^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t+\int_{a}^{x} \frac{1}{\sqrt{4 a^{2}-t^{2}}} \mathrm{~d} t=0$ 根的个数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=-1$ ，则 () ． （A） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x>0$ （B） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x<0$ （C） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x>-2$ （D） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x<-2$

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设沿 $y$ 轴上的区间 $[0,1]$ 放置一长度为 1 且线密度为 $\rho$ 的均匀细杆，在 $x$ 轴上 $x=1$ 处有一单位质点，则该细杆对此质点的引力（ $G$ 为引力常量）沿 $x$ 轴正向的分力为 $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．若 $f^{\prime}(x)-f(x)=2 x \mathrm{e}^{x}$ 的积分曲线没有极值点，但有拐点，则 $f(x)=()$ ． （A） $\mathrm{e}^{x}(x+C), 1 \leqslant C<2$ （B） $\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+C\right), 1 \leqslant C<2$ （C） $\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+C\right), 0 \leqslant C<1$ （D） $\mathrm{e}^{x}(x+C), 0 \leqslant C<1$

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的竖坐标 $\bar{z}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X$ 是随机变量，$s, \iota$ 是正数，$m, n$ 是正整数． （1）若 $X \sim G(p)$ ，则 $P\{X>m+n \mid X>m\}$ 与 $m$ 无关； （2）若 $\displaystyle X \sim P\{X=k\}=\frac{1}{k(k+1)}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X \geqslant 2 n \mid X \geqslant n\}$ 与 $n$ 无关； （3）若 $X \sim E(\lambda)$ ，则 $P\{X>s+t \mid X>s\}$ 与 $s$ 无关； （4）若 $\displaystyle X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}}, & x>1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则当 $t>1$ 时，$P\{X \geqslant 2 t \mid X \geqslant t\}$ 与 $\iota$ 无关．上述结论中正确的个数为 ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设随机变量 $X \sim E(1)$ ，记 $Y=\max \{X, 1\}$ ，则 $E(Y)=(\quad)$ 。 （A） 1 （B） $1-\mathrm{e}^{-1}$ （C） $1+\mathrm{e}^{-1}$ （D） $\mathrm{e}^{-1}$

### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上可导的奇函数，任意的 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，均有 $\displaystyle f(x+1)-f(x)= f(1), f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，则以下是偶函数的是（ ）。 （A） $\int_{0}^{x}[\sin f(t)+f(t+1)] \mathrm{d} t$ （B） $\int_{0}^{x}\left[\sin f^{\prime}(t)+f^{\prime}(t+1)\right] \mathrm{d} t$ （C） $\int_{0}^{x}[\cos f(t)+f(t+2)] \mathrm{d} t$ （D） $\int_{0}^{x}\left[\cos f^{\prime}(t)+f^{\prime}(t+2)\right] \mathrm{d} t$

### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设 $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，则 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} x y \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知 $f^{\prime}(x)=\arctan (x-1)^{2}, f(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第10题（填空题） 10．曲线 $r=\mathrm{e}^{g}$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=1$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=0$ ，证明： $$ $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2},$ $$ 其中 $M=\max _{0 \leqslant \leqslant 1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．

### 【强化篇】第10题（填空题） 10．设函数 $f(x, y)=\int_{0}^{x y} \mathrm{e}^{x t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第10题（填空题） 10． $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1}^{x} \frac{\tan y}{y} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第103题 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □

## 第103题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □