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原函数与不定积分的概念
第 106 题
### 第106题
设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 106 题
## 第106题 (高等数学 - 填空题)
设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 107 题
### 第107题
交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 107 题
## 第107题 (高等数学 - 填空题)
交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 109 题
### 第109题
交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ．
□
第 109 题
## 第109题 (高等数学 - 填空题)
交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ．
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第 11 题
### 【基础篇】第11题（选择题）
11．设 $f(x)$ 是实数集上连续的偶函数，在 $(-\infty, 0)$ 上有唯一零点 $x_{0}=-1$ ，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=1$ ，则函数 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的严格单调增区间是（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
（A）$(-\infty,-1)$
（B）$(-1,+\infty)$
（C）$(-1,1)$
（D）$(1,+\infty)$
第 11 题
### 【基础篇】第11题（选择题）
11．若 $\mathrm{e}^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2}} f(\ln x) \mathrm{d} x=$ ．
（A）$\displaystyle -\frac{1}{4}$
（B）-1
（C）$\displaystyle \frac{1}{4}$
（D） 1
第 11 题
### 【强化篇】第11题（填空题）
11．设 $g(x)=x^{2}, g[f(x)]=-x^{2}+2 x+3$ ，且 $f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 11 题
### 【基础篇】第11题（填空题）
11．已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^{4}-6 x y+3=0(1 \leqslant y \leqslant 2)$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 从点 $\displaystyle \left(\frac{2}{3}, 1\right)$ 到点 $\displaystyle \left(\frac{19}{12}, 2\right)$ 的长度为 $\_\_\_\_$。
第 11 题
### 【强化篇】第11题（填空题）
11．设当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)$ 有连续的一阶导数，并且满足 $f(x)=-1+x+2 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) f^{\prime}(t) d t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 11 题
### 【基础篇】第11题（解答题）
11．已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(x+y)}, & 0
第 110 题
### 第110题
计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 111 题
### 第111题
计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 111 题
## 第111题 (高等数学 - 填空题)
计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 112 题
### 第112题
计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\pi \arcsin y} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区 □
第 112 题
## 第112题 (高等数学 - 填空题)
计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\pi \arcsin y} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区 □
第 117 题
### 第117题
已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
－纠错笔记
第 117 题
## 第117题 (高等数学 - 填空题)
已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
答题 区
－纠错笔记
第 12 题
### 【强化篇】第12题（填空题）
12．设 $f^{\prime}(\ln x)=x \ln x$ ，则 $f^{(n)}(x)=$ $\_\_\_\_$。