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原函数与不定积分的概念
第 19 题
### 【强化篇】第19题（选择题）
19．当 $x>0$ 时，函数 $f(x)$ 满足关系式 $x^{2} f^{\prime}(x)+(-1+\ln x) f(x)=0$ ，且 $f(1)=1$ ，则 $f(x)$的最大值为 ．
（A） $\mathrm{e}^{-\mathrm{c}}$
（B）$e^{e}$
（C）$\displaystyle e^{-\frac{1}{c}}$
（D）$\displaystyle e^{\frac{1}{e}}$
第 191 题
### 第191题
设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
（A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ．
（C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（D）以上均不正确．
答题 区
第 191 题
## 第191题 (高等数学 - 选择题)
设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
（A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ．
（C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ．
（D）以上均不正确．
答题 区
第 192 题
### 第192题
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos ^{2} x}^{2 x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}+\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
第 192 题
## 第192题 (高等数学 - 选择题)
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos ^{2} x}^{2 x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}+\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
第 193 题
### 第193题
设 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$ ，则曲线 $y=F(x)$
（A）在 $(-\infty, 0)$ 是凹的，在 $(0,+\infty)$ 是凸的．
（B）在 $(-\infty, 0)$ 是凸的，在 $(0,+\infty)$ 是凹的．
（C）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凹的．
（D）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凸的．
□
194设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
第 193 题
## 第193题 (高等数学 - 选择题)
设 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$ ，则曲线 $y=F(x)$
（A）在 $(-\infty, 0)$ 是凹的，在 $(0,+\infty)$ 是凸的．
（B）在 $(-\infty, 0)$ 是凸的，在 $(0,+\infty)$ 是凹的．
（C）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凹的．
（D）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凸的．
□
194设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
第 197 题
### 第197题
函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$
（A）为正数．
（B）为负数．
（C）恒为零．
（D）不是常数．
第 197 题
## 第197题 (高等数学 - 选择题)
函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$
（A）为正数．
（B）为负数．
（C）恒为零．
（D）不是常数．
第 198 题
### 第198题
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(2 x)=2 f(x)$ ，则 $\int_{1}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $a$ 为
（A） 5 ．
（B） 6 ．
（C） 7 ．
（D） 8 ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
第 198 题
## 第198题 (高等数学 - 选择题)
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(2 x)=2 f(x)$ ，则 $\int_{1}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $a$ 为
（A） 5 ．
（B） 6 ．
（C） 7 ．
（D） 8 ．
## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
第 2 题
### 【强化篇】第2题（选择题）
2．设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续奇函数，则 $\int_{a+(b+1) T}^{a+(b+2) T} f(x) \mathrm{d} x$ 的取值（ ）。
（A）与 $a, b, T$ 均有关
（B）与 $a, b, T$ 均无关
（C）只与 $T$ 有关
（D）只与 $a, T$ 有关
第 2 题
### 【基础篇】第2题（解答题）
2．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
第 2 题
### 【强化篇】第2题（解答题）
2．求 $\displaystyle \int \frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x$ ．
第 2 题
### 【基础篇】第2题（填空题）
2．曲线 $\displaystyle y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 在 $\left[1, \mathrm{e}^{2}\right]$ 上与 $x$ 轴所围图形的面积是 $\_\_\_\_$。
第 2 题
### 【强化篇】第2题（填空题）
2．曲线 $\displaystyle r=2 \cos 3 \theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ 与 $\theta=0$ 及 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ 所围图形面积为 $\_\_\_\_$。
第 2 题
### 【基础篇】第2题（选择题）
2．当 $x \geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 可导，有反函数 $g(x)$ ，且恒等式 $\int_{1}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2}-1$ 成立，则函数 $f(x)=(\quad)$.
（A） $2 x+1$
（B） $2 x-1$
（C）$x^{2}+1$
（D）$x^{2}$
第 2 题
### 【强化篇】第2题（解答题）
2．设函数 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，利用分部积分法证明：
$$
$\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$
$$
第 2 题
### 【基础篇】第2题（填空题）
2．边长为 $a$ 的正方形平板置于水面下，且一个顶点与水面相齐，其中一条对角线与水面垂直，如图所示．记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ ，则其一侧所受的静水压力为 $\_\_\_\_$。
第 2 题
### 【强化篇】第2题（解答题）
2．边长为 2 的等边三角形薄平板铅直沉没在水中，且一条边与水面相齐。记重力加速度为 $g$ ，水的密度为 $p$ 。
（1）求该平板一侧所受的水压力；
（2）当水面开始以 0.1 的速度上涨时，求平板一侧所受水压力的变化率．