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原函数与不定积分的概念
第 23 题
### 【强化篇】第23题（解答题）
23．设非负函数 $y(x)$ 是微分方程 $2 y y^{\prime}=\cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解，求曲线 $f_{n}(x)=$刀 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{n}} y(1) \mathrm{d} l(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 的弧长。
第 23 题
### 【强化篇】第23题（填空题）
23． $\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 24 题
### 【强化篇】第24题（解答题）
24．设一空间物体是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 及平面 $z=2 x$ 所围成的，其体密度为 $\rho=y^{2}$ ，求它关于 $\approx$ 轴的转动惯量。
第 246 题
### 第246题
已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$
（A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ．
（B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ．
（C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
（D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
第 246 题
## 第246题 (高等数学 - 选择题)
已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$
（A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ．
（B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ．
（C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
（D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
第 25 题
### 【基础篇】第25题（选择题）
25．下列表达式中正确的是（ ）。
（A） $\int_{\pi}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x \leqslant \int_{\pi}^{2 \pi} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$
（B） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x<\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x}{1+x^{4}}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$
（C） $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{c}^{d} f(x) \mathrm{d} x,[a, b] \subset[c, d], f(x)$ 连续，$x \in[c, d]$
（D） $\int_{-1}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x, f(x)$ 连续，$x \in[-1,1]$
## 第9章 一元函数积分学的计算
第 25 题
### 【基础篇】第25题（填空题）
25． $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{|x|(\arcsin x+\arccos x)}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
第 25 题
### 【强化篇】第25题（解答题）
25．求定积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{3 x^{2}-2 x-1}}$ ．
第 25 题
### 【强化篇】第25题（解答题）
25．求㭷线的一拱 $\left\{\begin{array}{l}x=a(l-\sin l), \\ y=a(1-\cos l)\end{array}(0 \leqslant l \leqslant 2 \pi, a>0)\right.$ 与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积与表面积。
第 257 题
### 第257题
累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成
（A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
第 257 题
## 第257题 (高等数学 - 选择题)
累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成
（A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
（C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
（D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
第 26 题
### 【基础篇】第26题（填空题）
26．积分 $\displaystyle I=\int_{1}^{\frac{3}{2}} \frac{(1-x) \arcsin (1-x)}{\sqrt{2 x-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 26 题
### 【强化篇】第26题（解答题）
26．已知揌钱的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a(1-\sin t), \\ y-a(1-\cos t),\end{array}\right.$ 其中 $0 \leqslant 1 \leqslant 2 \pi$ ，常数 $a>0$ 。设该摆线一拱的弧长的数值等于淡孤段绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋钫曲面面积的数值，求 $a$ 的值．
## 第11章 一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式
第 260 题
### 第260题
累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．
第 260 题
## 第260题 (高等数学 - 选择题)
累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$
（A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．
第 269 题
### 第269题
累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于
（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
第 269 题
## 第269题 (高等数学 - 选择题)
累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于
（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
第 27 题
### 【基础篇】第27题（填空题）
27．若 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+x^{3} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 27 题
### 【强化篇】第27题（选择题）
27．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array} g(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.\right.$ 则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-x) g(t) \mathrm{d} t=(\quad)$ 。
（A） $\displaystyle \begin{cases}\frac{(x-1)^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{x^{2}-1}{2}, & 01\end{cases}$
（B） $\displaystyle \begin{cases}\frac{(1-x)^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{1-x^{2}}{2}, & 01\end{cases}$
（C） $\displaystyle \begin{cases}\frac{x^{2}-1}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{(x-1)^{2}}{2}, & 01\end{cases}$
（D） $\displaystyle \begin{cases}\frac{1-x^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0 \\ \frac{(1-x)^{2}}{2}, & 01\end{cases}$
第 27 题
### 【基础篇】第27题（解答题）
27．设 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\left(x^{2}+y^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{\mathrm{r}}, \frac{\partial f}{\partial y}=2 y \mathrm{e}^{\mathrm{r}}, f(0,0)=0$ ，求：
（1）$f(x, y)$ 的表达式；
（2）$f(x, y)$ 的极值．