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原函数与不定积分的概念
第 27 题
### 【强化篇】第27题（选择题）
27． $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d} y \int_{y}^{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=(\quad)$ ．
（A） 1
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$
（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$
（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$
第 275 题
## 第275题 (高等数学 - 选择题)
设 $g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $\displaystyle f(1)=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{2023}{2}$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t$ 的值为
（A）0．
（B） 2022 ．
（C） 2023 ．
（D） 2100 ．
第 28 题
### 【基础篇】第28题（填空题）
28． $\int_{-1}^{1}\left[x^{3} \cos x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 28 题
### 【强化篇】第28题（填空题）
28．已知函数 $\displaystyle f(t)=\int_{1}^{t^{2}} \mathrm{~d} x \int_{t}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{\frac{x}{y}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(\pi)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 28 题
### 【强化篇】第28题（解答题）
28．设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta}{x^{2}}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x<\theta,\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>1)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X_{(1)}=\min \left\{X_{1}\right.$ ， $\left.X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$ 。
（1）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ，并求常数 $a$ ，使得 $a \hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计；
（2）对于原假设 $H_{0}: \theta=2$ 与备择假设 $H_{1}: \theta>2$ ，若 $H_{0}$ 的拒绝域为 $V=\left\{X_{(1)} \geqslant 3\right\}$ ，求犯第一类错误的概率 $\alpha$ 。
綜合篇
第 29 题
### 【基础篇】第29题（选择题）
29．设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+\sin ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)} \mathrm{d} x=$ ．
（A）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$
（B）$\displaystyle -\arctan \frac{\pi}{4}$
（C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
（D） $\displaystyle \arctan \frac{\pi}{4}$
第 3 题
### 【强化篇】第3题（选择题）
3．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{2 \pi} x \sin x \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ，则（ ）。
（A）$I_{1}<0, I_{2}>0$
（B）$I_{1}<0, I_{2}<0$
（C）$I_{1}>0, I_{2}>0$
（D）$I_{1}>0, I_{2}<0$
第 3 题
### 【基础篇】第3题（解答题）
3．计算不定积分 $\displaystyle \int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$ ．
第 3 题
### 【强化篇】第3题（填空题）
3． $\int_{1}^{0} \cos (\ln x) d x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 3 题
### 【基础篇】第3题（选择题）
3．如图所示，抛物线 $y=(\sqrt{2}-1) x^{2}$ 把 $y=x(b-x)(b>0)$ 与 $x$ 轴所围成的闭区域分为面积为 $S_{A}$ 与 $S_{B}$ 的两部分，则 ．
（A）$S_{A}S_{B}$
（D）$S_{A}$ 与 $S_{B}$ 大小关系与 $b$ 的数值有关
第 3 题
### 【强化篇】第3题（填空题）
3．若曲线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 所围图形的面积为 $6 \pi$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
第 3 题
### 【基础篇】第3题（填空题）
3．将地面上质量为 1 的物体铅直向上举高，记地球半径为 $R$ ，质量为 $M$ ，
引力常数为 $G$ ，则物体摆脱地球引力至少需做功 $\_\_\_\_$。
第 3 题
### 【强化篇】第3题（解答题）
3．已知曲线 $L: y=\ln \sqrt{x}(2 \leqslant x \leqslant 4)$ ，在 $L$ 上的任意点 $P(x, y)$ 作切线，记切线与曲线 $L$ 在 $2 \leqslant x \leqslant 4$ 时所围成的有界区域的面积为 $S$ ．
（1）求一点 $P_{0}$ ，使上述面积 $S$ 关于 $x$ 的变化率为零；
（2）当点 $P(x, y)$ 在曲线上移动至 $\displaystyle \left(\mathrm{e}, \frac{1}{2}\right)$ 时，横坐标关于时间的变化率为 1 ，求此时面积关于时间的变化率 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}$ ．
第 3 题
### 【基础篇】第3题（填空题）
3．微分方程 $y^{\prime} \sec ^{2} y-\sec ^{2} y-1=0$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．
第 31 题
### 【基础篇】第31题（选择题）
31．设 $\alpha(x)=\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t, \beta(x)=\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t, f(x)>0$ ，且 $f^{\prime}(x)=o(x)\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$，则当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的（ ）．
（A）高阶无穷小
（B）低阶无穷小
（C）等价无穷小
（D）同阶但非等价无穷小
第 32 题
### 【基础篇】第32题（选择题）
32．设函数 $f(x)$ 及其反函数 $f^{-1}(x)$ 都可导，且有 $\displaystyle \int_{2}^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}-9$ ，则 $f(x)=$ ．
（A）$\sqrt{x}-1$
（B）$\sqrt{x}+1$
（C） $2 \sqrt{x}-1$
（D） $2 \sqrt{x}+1$
第 32 题
### 【强化篇】第32题（解答题）
32．已知 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+y+1, \frac{\partial u}{\partial y}=x+2 y+3, u(0,0)=1$ ．求 $u(x, y)$ 及 $u(x, y)$ 的极值，并判断极值是极大值还是极小值？说明理由．
第 32 题
### 【强化篇】第32题（填空题）
32．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) f(x-y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
第 33 题
### 【强化篇】第33题（解答题）
33．已知 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{-2 x} \frac{\partial f}{\partial x}=4 y+2 y^{2}+2 x+1$ ，且 $f(0, y)=2 y+y^{2}$ ．求：
（1）$f(x, y)$ 的表达式；
（2）$f(x, y)$ 的极值．
第 34 题
### 【基础篇】第34题（解答题）
34．设 $f(x)=\int_{1}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．