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原函数与不定积分的概念
第 18 题
### 【强化篇】第18题（填空题）
18．设 $L$ 为从点 $A(-1,0)$ 到点 $B(3,0)$ 的上半个圆周 $(x-1)^{2}+y^{2}=2^{2}, y \geqslant 0$ ，则 $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
第 18 题
### 【强化篇】第18题（选择题）
18．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于参数为 1 的指数分布，令 $Z=\max \{X, Y\}, W=\min \{X, Y\}$ ，则 $Z$ 与 $W$ 的相关系数为（ ）。
（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}$
（D） 1
第 18 题
### 【强化篇】第18题（解答题）
18．设总体 $X$ 的分布函数
$$
F(x)= \begin{cases}0, & x<0, \\ \theta, & 0 \leqslant x<1, \\ 1-2 \theta, & 1 \leqslant x<\frac{3}{2}, \\ 1, & x \geqslant \frac{3}{2},\end{cases}
$$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本．
（1）求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{M}$ ，并验证其是否有无偏性、一致性；
（2）若 $n$ 个样本中有 $n_{1}$ 个观测值为 $1, n_{2}$ 个观测值为 0 ，求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}_{L}$ ．
第 180 题
## 第180题 (高等数学 - 选择题)
下列函数在指定区间上不存在定积分的是
（A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ．
（B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$
（C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ．
（D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.
第 181 题
### 第181题
下列命题中有一个正确的是
（A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积．
（C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．
（D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．
第 181 题
## 第181题 (高等数学 - 选择题)
下列命题中有一个正确的是
（A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．
（B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积．
（C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．
（D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．
第 182 题
### 第182题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为
（1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ．
（2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ．
（3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．
下述结论不正确的是
第 182 题
## 第182题 (高等数学 - 选择题)
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为
（1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ．
（2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ．
（3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（A） 0 ．
（B） 1 ．
（C） 2 ．
（D） 3 ．
下述结论不正确的是
第 184 题
### 第184题
设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则
（A）$M>N>K$ ．
（B）$M>K>N$ ．
（C）$K>M>N$ ．
（D）$K>N>M$ ．
第 184 题
## 第184题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则
（A）$M>N>K$ ．
（B）$M>K>N$ ．
（C）$K>M>N$ ．
（D）$K>N>M$ ．
第 185 题
## 第185题 (高等数学 - 选择题)
设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则
（A）$I_{1}<1
第 187 题
### 第187题
I=$\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$$
（A）$\pi$ ．
（B）$\frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\frac{\pi}{4}$ ．$
第 187 题
## 第187题 (高等数学 - 选择题)
I=$\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$$
（A）$\pi$ ．
（B）$\frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\frac{\pi}{3}$ ．
（D）$\frac{\pi}{4}$ ．$
第 188 题
### 第188题
I=$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$$
（A）$\pi$ ．
（B）$\frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\frac{\pi}{8}$ ．
（V）纠错笔记$
第 188 题
## 第188题 (高等数学 - 选择题)
I=$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$$
（A）$\pi$ ．
（B）$\frac{\pi}{2}$ ．
（C）$\frac{\pi}{4}$ ．
（D）$\frac{\pi}{8}$ ．
（V）纠错笔记$
第 189 题
## 第189题 (高等数学 - 选择题)
积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$
（A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．
第 19 题
### 【基础篇】第19题（选择题）
19．设 $f(x) \neq 0$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上可导的奇函数，则下列函数为奇函数的是（ ）。
（A）$x^{3} \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$
（B） $\int_{0}^{x} f(-t) \mathrm{d} t$
（C） $\int_{0}^{x}\left[f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$
（D） $\int_{0}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t$
第 19 题
### 【基础篇】第19题（填空题）
19．设连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{x}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 19 题
### 【基础篇】第19题（解答题）
19．设 $P$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos t, \\ y=2 \sin ^{2} t,\end{array} t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ 上的一点，该曲线与直线 $O P$ 及 $x$ 轴所围图形的面积为 $S$ ，求函数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}$ 取得最大值时点 $P$ 的坐标．
第 19 题
### 【强化篇】第19题（解答题）
19．已知方程 $2 z-\mathrm{e}^{z}+1+\int_{y}^{x^{2}} \sin \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=0$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=(1,1,0)$ 的某个邻域中确定了一个隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$ ．