定积分的性质（线性、区间可加性、不等式性质、积分中值定理）

## 第79题 (高等数学 - 填空题) 当 $y>0$ 时，微分方程 $\left(x-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y+y^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设 $\displaystyle x>0, I=\int_{L} x(1+y \sin x) \mathrm{d} x+\frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} y$ 与路径 $L$ 无关，$f(x)$ 有连续导数且 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ ．当 $L$ 是从点 $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 到点 $B(\pi, 0)$ 的任一曲线时，$I=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第82题 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

## 第82题 (高等数学 - 填空题) 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

### 第83题 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0) =b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

## 第83题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0) =b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

### 第84题 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ． □

## 第84题 (高等数学 - 填空题) 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ． □

### 第9题 I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$

## 第9题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ，$ －纠错笔记$