定积分的性质（线性、区间可加性、不等式性质、积分中值定理）

### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(x)-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=-\frac{1}{2}+\sin x$ ． （1）求 $f(x)$ 的表达式； （2）求曲线 $y=f(x)$ 与 $y=0$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积．

### 第209题 峰值为 $V_{m}$ ，周期为 $T$ 的三角形波的电压平均值为 （A）$\displaystyle \frac{V_{m}}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{3}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{V_{m}}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ ． 答题 区

## 第209题 (高等数学 - 选择题) 峰值为 $V_{m}$ ，周期为 $T$ 的三角形波的电压平均值为 （A）$\displaystyle \frac{V_{m}}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{3}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{V_{m}}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ ． 答题 区

## 第211题 (高等数学 - 选择题) 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为 （A）$y=C y_{1}(x)$ ． （B）$y=C y_{2}(x)$ ． （C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ． （D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．

### 第212题 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件．

### 第214题 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．

## 第214题 (高等数学 - 选择题) 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．

### 第216题 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是 （A） $1-3 x+4 x^{3}$ ． （B） $1-4 x+3 x^{3}$ ． （C） $1+3 x-4 x^{3}$ ． （D） $1+4 x-3 x^{3}$ ． 答题区

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设连续函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}-\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式．

### 第223题 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y=\frac{x}{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 （A）$\displaystyle y=\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （B）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ ． （C）$\displaystyle y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （D）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ．

## 第223题 (高等数学 - 选择题) 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y=\frac{x}{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 （A）$\displaystyle y=\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （B）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ ． （C）$\displaystyle y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （D）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ．

## 第224题 (高等数学 - 选择题) 微分方程 $\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+(2 x y-\cos y) \mathrm{d} y=0$ 的通解是 （A）$y^{2} x-\sin y=C$ ． （B）$y^{2} x-\cos y=C$ ． （C）$\left(y^{2}-1\right) x-\cos y=C$ ． （D）$\left(y^{2}-1\right) x-\sin y=C$ ． 其中 $C$ 为任意常数． □

### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上非负，$f^{\prime \prime}(x)>0$ ，且 $f(0)=0$ ．有一块质量均匀分布的平板 $D$ ，其占据的区域是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a$ 以及 $x$ 轴围成的平面图形。用 $\bar{x}$ 表示平板 $D$ 的质心的横坐标（见图）。证明： $\displaystyle \bar{x}>\frac{2}{3} a$ 。

### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\langle b_{n}\right\rangle$ 满足 $\int_{o_{n}}^{\ln n a_{a}} \mathrm{c}^{x^{2}} \mathrm{~d} x=\ln \left(1+b_{n}\right)^{o_{n}}, a_{n}>0, b_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．证明： （1） $\lim _{n \rightarrow \cdots} b_{n}=0$ ； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty} \frac{b_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}$ 收敛。

### 第243题 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是 （A）$f(1,1)>1$ ． （B）$f(-1,1)>-2$ ． （C）$f(-1,-1)<0$ ． （D）$f(1,-1)>2$ ． ## （ ）纠错笔记

## 第243题 (高等数学 - 选择题) 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是 （A）$f(1,1)>1$ ． （B）$f(-1,1)>-2$ ． （C）$f(-1,-1)<0$ ． （D）$f(1,-1)>2$ ． ## （ ）纠错笔记

### 第273题 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ． 答题 区

## 第273题 (高等数学 - 选择题) 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ． 答题 区

### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足 $f_{u}^{\prime}(u, v)+f_{v}^{\prime}(u, v)=u v$ ，则函数 $y=\mathrm{e}^{-2 x} f(x, x)$ 满足条件 $\left.y\right|_{x-0}=1$ 的表达式为 $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第33题（选择题） 33．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续的导数，则 $\displaystyle \lim _{a \rightarrow+0^{+}} \frac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{d} t=$ ． （A） 0 （B）$f^{\prime}(0)$ （C）$\displaystyle \frac{1}{4} f^{\prime}(0)$ （D）不存在