定积分的性质（线性、区间可加性、不等式性质、积分中值定理）

### 【强化篇】第34题（解答题） 34．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $f(x, 0)=x^{2}, f_{y}^{\prime}(x, 0)=\sqrt{2} x, f_{x}^{\prime \prime}(x, y)=4$ ，求 $f(x, y)$ 在约束条件 $x^{2}+2 y^{2}=4$ 下的最大值与最小值．

### 【强化篇】第38题（选择题） 38．微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x y=\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 满足 $y(0)=0$ 的积分曲线的拐点个数为（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

### 第4题 设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是 （A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解． （C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．

## 第4题 (线性代数 - 选择题) 设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是 （A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解． （C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．

### 【强化篇】第40题（选择题） 40．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{arccot}\left(x^{2}+y^{2}\right), & (x, y) \neq(0,0), \\ \frac{\pi}{2}, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 平面区域 $D=\{(x, y)\} \left.x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，则 $\displaystyle \lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi a^{2}} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=(\quad)$ ． （A）$\pi$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （C） 0 （D）$\infty$

### 【强化篇】第40题（解答题） 40．求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}(x)+y(x)=\frac{(-x)^{n-1}}{3^{n} \mathrm{e}^{x}}$ 的通解，其中 $n$ 为任意正整数．

### 【强化篇】第41题（解答题） 41．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leqslant 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \geqslant x \geqslant 0\right\}$ ，若 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x, y)}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} \sigma=a>0$ ， $f(x, y)$ 是 $D$ 上的连续函数． （1）计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} \sigma$ ； （2）证明：存在 $(\xi, \eta) \in D$ ，使得 $\displaystyle |f(\xi, \eta)| \geqslant \frac{\sqrt{2}}{\pi} a$ ． ## 第15章 微分方程

### 【强化篇】第41题（填空题） 41．微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{1}{x}=\mathrm{e}^{-y}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第43题（解答题） 43．设函数 $f(x)$ 可微，且满足方程 $\displaystyle f(x)-1=\int_{1}^{x}\left[f^{2}(t) \ln t-\frac{f(t)}{t}\right] \mathrm{d} t$ ，求 $f(x)$ ．

### 【基础篇】第5题（解答题） 5．设 $f(x), g(x)$ 连续，$x \in[a, b]$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $$ f(\xi) \int_{\xi}^{b} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x $$

### 【基础篇】第5题（解答题） 5．求微分方程 $\left(1+y^{2}\right) \mathrm{d} x+(x-\arctan y) \mathrm{d} y=0$ 的通解．

### 【强化篇】第51题（解答题） 51．设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，$f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ，且微分方程 $$ [x y(x+y)-f(x) y] \mathrm{d} x+\left[f^{\prime}(x)+x^{2} y\right] \mathrm{d} y=0 $$ 为全微分方程． （1）求 $f(x)$ ； （2）求该全微分方程的通解．

### 【强化篇】第52题（解答题） 52．求二元函数 $f(x, y)=y\left(x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x-2\right)$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 3\right\}$ 上的最大值与最小值． ## 第14章 二重积分

### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 连续，$f(a)=0$ ．证明： $$ $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ $$

### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ． 证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．以 $y O z$ 面上的平面曲线段 $y=f(z)(z \geqslant 0)$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成旋转曲面与 $x O y$ 面围成一个无上盖容器（见图），现以 $3 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}$ 的速率把水注入容器内，水面的面积以 $\pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$ 的速率增大。已知容器底面积为 $16 \pi \mathrm{~cm}^{2}$ ，求曲线 $y=f(z)$ 的方程。

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．已知微分方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}=t+\frac{1}{y^{\prime}}$ 满足 $y(0)=0$ ． （1）求该微分方程的特解 $y=y(t)$ ； （2）设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{1+t^{2}}, \\ y=y(t),\end{array}\right.$ 计算 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}$ ．

### 第76题 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小，又 $y(0)=1$ ．则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。 □

## 第76题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小，又 $y(0)=1$ ．则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。 □

### 第79题 当 $y>0$ 时，微分方程 $\left(x-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y+y^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．