定积分的性质（线性、区间可加性、不等式性质、积分中值定理）

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．以 $y_{1}=x^{2}$ 和 $y_{2}=x^{2}-\mathrm{e}^{2 x}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, x \geqslant 0$ ． （1）证明： $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x f^{\prime}[x \cdot \theta(x)]$ ，且 $\theta(x)$ 唯一，其中 $0<\theta(x)<1, x>0$ ； （2）求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)$ ．

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $\varphi(x)$ 为连续函数，$|\varphi(x)| \leqslant k$（ $k$ 为常数），求微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=\varphi(x)$ 满足初始条件 $y(0)=0$ 的特解 $y(x)$ ，并证明当 $x \geqslant 0$ 时，有 $|y(x)| \leqslant k\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)$ 。

### 【强化篇】第10题（填空题） 10．微分方椙 $\displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x-2}=1$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $f^{\prime}(1)=2$ ，计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{\ln x}$ ，并指出与第 10 题的区别．

### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设函数 $y=f(x)$ 满足微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+y=\frac{\mathrm{e}^{-x} \cos x}{2 \sqrt{\sin x}}$ ，且 $f(\pi)=0$ ，求曲

### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin u^{2} \mathrm{~d} u$ ，证明：当 $x>0$ 时，有 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{x}$ ． ## 第12章 一元函数积分学的应用（三）——物理应用

### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime}-4 y=2 \ln x-1$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y= y(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的平均值．

### 【基础篇】第12题（选择题） 12．若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{2 x} f\left(x+\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$g(x)$ 是的（ ． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小

### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设曲线 $y=y(x)(x>0)$ 经过点 $(1,0)$ ，该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的 切线在 $y$ 轴上的截讵，求 $y(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上与 $x$ 轴所围平面图形的面积．

### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的连续函数，且对任意 $x>0$ 满足 $x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=-2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+ x f(x)+x^{1}, f(1)=0$ ．求函数 $f(x)$ ．

### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则（ ）． （A）当 $f^{\prime}(x)<0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （B）当 $f^{\prime \prime}(x)<0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （C）当 $f^{\prime}(x)>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （D）当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$

### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内可导，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{d} t}{x^{2} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ ．

### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已物 $y_{1}=x \mathrm{e}^{7}+\mathrm{e}^{25}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第18题（填空题） 18．若微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\left(a+\sin ^{2} x\right) y=0$ 的所有解都以 $\pi$ 为周期，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第19题（选择题） 19．已知 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}1, & x \text { 是整数，} \\ -1, & x \text { 不是整数，} \text { 则 }^{\lim } \int_{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{1}{x}} f(x) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=(\quad) \text { ．}\end{cases}$ （A） $\mathrm{e}^{-1}$ （B） e （C） 0 （D） 1

### 【强化篇】第19题（解答题） 19．已卵函数 $f(x), g(x)$ 分别满足 $$ f^{\prime}(x)=2 \sqrt{f(x)}, g^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x-2}+\frac{x-2}{x}, f(0)=1, g(1)=0 $$ 求曲线 $f(x)+g(y)=0$ 所围图形绕直线 $x=-1$ 旋转一周所成旋转体体积。

### 【强化篇】第2题（填空题） 2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x}(1+\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第2题（选择题） 2． $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ ）． （A） 0 （B） 1 （C）$\pi r^{2}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi r^{2}}$

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设一曲线过点 $(\mathrm{e}, 1)$ ，且此曲线上任一点 $M(x, y)$ 处的法线斜率为 $\displaystyle \frac{-x \ln x}{x+y \ln x}$ ，则此曲线方程为（ ）。 （A）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+x \ln (\ln x)$ （B）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+\ln (\ln x)$ （C）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+x \ln x$ （D）$y=\mathrm{e} x+x \ln (\ln x)$