相似矩阵的性质（相同的特征值、迹、行列式）

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $a, b, c$ 是方程 $x^{3}-2 x+4=0$ 的三个根，则行列式 $$ $\left|\begin{array}{lll}$ a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b $\end{array}\right|$ $$ 的值等于 ． （A） 1 （B） 0 （C）-1 （D）-2

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $D_{3}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 34 & 1 & 34\end{array}\right|$ ，则 $5 A_{11}+2 A_{12}+A_{13}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第2题（选择题） 2．行列式 $$ $\left|\begin{array}{llll}$ x & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & x $\end{array}\right|$ $$ 展开式中的常数项为 ． （A） 4 （B） 2 （C） 1 （D） 0

### 【强化篇】第2题（解答题） 2．计算 s 阶行列式： $$ D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} a_{1}+x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2}+x_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}+x_{n} $\end{array}\right|$ $$ $$ $\begin{gathered}$ D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \\ -1 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x $\end{array}\right| . \\$ $\text { 4. } D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}$ b & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & b & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & b & -1 \\ a_{n} & a_{n-1} & a_{n-3} & \cdots & a_{3} & b+a_{1} $\end{array}\right|={ }^{\cdots} .$ \end{gathered} $$

### 【基础篇】第3题（选择题） 3．多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 2 & x & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 2 & 1 & x\end{array}\right|$ 的常数项为 ． （A） 2 （B） 4 （C） 6 （D） 8

### 【强化篇】第3题（解答题） 3．计算 $n+1$ 阶行列式：

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．不恒为零的函数 $f(x)=\left|\begin{array}{lll}a_{1}+x & b_{1}+x & c_{1}+x \\ a_{2}+x & b_{2}+x & c_{2}+x \\ a_{3}+x & b_{3}+x & c_{3}+x\end{array}\right| \quad$ ）． （A）没有零点 （B）至多有 1 个零点 （C）恰有 2 个零点 （D）恰有 3 个零点

### 【基础篇】第5题（选择题） 5．若 $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}3 x+1 & x+11 & x-2 \\ x+1 & x+4 & -1 \\ x & 7 & x-1\end{array}\right|$ ，则 $f(x)$ 的拐点为 $\quad \quad$ ， （A）$(1,7)$ （B）$(-1,-1)$ （C）$(0,0)$ （D）$(-2,-2)$

### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 3 阶矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=-3,|\boldsymbol{B}|=4, \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}2 \boldsymbol{A}^{*} & (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{*} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{C}|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right|, M_{3 j}$ 表示 $D$ 中第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,4)$ ，则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=(\quad)$. （A） 0 （B） 1 （C）-2 （D）-3

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．$\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -1 & 1 & 0\end{array}\right|=$

### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{\cdot}-\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ，

### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & 0 & a\end{array}\right|, A_{i j}$ 表示元素 $a_{i j}(i, j=1,2,3,4)$ 的代数余子式．若 $A_{11}- A_{21}+A_{41}=4$ ，则 $a=$

### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $x \neq 0$ ，则 $D_{4}=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1+2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4 x\end{array}\right|=$