定积分的性质（线性、区间可加性、不等式性质、积分中值定理）

### 第214题 214 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．

### 第224题 224 设微分方程 $\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-2 x y=x$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 $y^{*}(x)$ ，则 $\int_{0}^{1} y^{*}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3}{2}$ ．

### 第273题 273 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ．

### 第386题 386 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,0,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 的线性组合，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可能是 （A）$(0,1,0)^{\mathrm{T}}$ ． （B）$(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ ． （C）$(5,0,1)^{\mathrm{T}}$ ． （D）$(0,1,5)^{\mathrm{T}}$ ．

### 第4题 4．设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是 （A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解． （C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．

### 第595题 595 设函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$ ，且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 x y-y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 满足 $y(1)=-2$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．

### 第597题 597 把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数，求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{d} y+x y \mathrm{~d} x=0$ ，则该方程的通解是 $\_\_\_\_$ ．

### 第79题 79 微分方程 $\displaystyle (x \tan y+\sin 2 y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=1$ 满足 $y(0)=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

### 第82题 82 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 （－）纠钵笔记

### 第83题 83 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0)=b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第84题 84 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．