常数项级数的概念（级数、部分和、收敛、发散）

### 第570题 570 假设总体 $X$ 的方差 $D X$ 存在，$X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}, S^{2}$ ，则 $E X^{2}$ 的矩估计量是 （A）$S^{2}+\bar{X}^{2}$ ． （B）$(n-1) S^{2}+\bar{X}^{2}$ ． （C）$n S^{2}+\bar{X}^{2}$ ． （D）$\displaystyle \frac{n-1}{n} S^{2}+\bar{X}^{2}$ ．

### 第573题 573 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本，则统计量 $$ T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(X_{i}-1\right) $$ 的数学期望 $E(T)=$ （A）$\lambda^{2}$ ． （B）$\lambda(\lambda-1)$ ． （C）$\lambda^{2}-1$ ． （D）$\lambda$ ． 参数 $\theta$ 的矩估计量是

### 第602题 602 已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n^{\alpha}}$ 收敛，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．

### 第637题 637 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。 （C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ． （D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。

### 第638题 638 现有关于级数的如下四个结论： （1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛． （2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．其中正确的是 （A）（1），（2）． （B）（1），（3）． （C）（3），（4）． （D）

### 第641题 641 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则 （A）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)$ 发散． （B）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散． （C）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|\right)$ 发散。 （D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ 发散。

### 第643题 643 设正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$b_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+a_{2 n}\right)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ （A）条件收敛． （B）绝对收敛． （C）发散． （D）不能确定敛散性． 644设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是

### 第655题 655 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^{-\ln n}$ 收敛，则必有 （A）$\alpha>\ln 3$ ． （B）$\alpha \neq 1$ ． （C）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{\ln 3}$ ． （D）$\alpha<\ln 3$ ．

### 第657题 657 设常数 $\alpha>0, \beta>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\beta^{n}}{n^{\alpha}}$ 的收敛性 （A）既与 $\alpha$ 又与 $\beta$ 的取值有关． （B）仅与 $\alpha$ 的取值有关． （C）仅与 $\beta$ 的取值有关． （D）与 $\alpha$ 及 $\beta$ 的取值都无关．

### 第658题 658 设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{4}\right)^{n} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n a_{n}$ 是 （A）绝对收敛． （B）条件收敛． （C）发散． （D）收敛与否与 $a_{n}$ 有关．