📝 南方科技大学 2021年强基真题

已知集合 $\displaystyle A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \mid x_{i} \in\{-1,0,1\}\right\}$ ，满足 $\displaystyle 1 \leqslant\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|x_{4}\right|+\left|x_{5}\right| \leqslant 3$ 的元素有几个？

设 $\displaystyle A B C D$ 为正四面体，$\displaystyle A B=2 \sqrt{3}, E, M$ 分别为 $\displaystyle A B, B C$ 中点，点 $\displaystyle P$ 在线段 $\displaystyle D E$ 上运动，$\displaystyle Q$ 在平面 $\displaystyle A D M$ 上运动，求 $\displaystyle B P+P Q$ 的最小值。

已知集合 $\displaystyle A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \mid x_{i} \in\{-1,0,1\}, i=1,2,3,4,5\right\}$ ，求集合 $\displaystyle A$ 中满足 $\displaystyle 1 \leq\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|x_{4}\right|+\left|x_{5}\right| \leq 3$ 的元素个数。

已知 $\displaystyle f(x)=\sin (\omega x)+\cos (\omega x)$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 上有三个零点，求 $\displaystyle \omega$ 的范围。

如图电路，由原件 1，2，3 组成，原件 1 和原件 2 任何一个正常工作，且原件 3 正常工作，都能使电路正常运行，而 3 个原件的正常与否相互独立，且符合正态分布（ $\displaystyle 1000,50^{2}$ ）（运行时间超过 1000 小时，即为正常）求：整个电路能正常运作的概率。

甲乙两人从六门选修课中选 3 门，恰有一门课相同的概率是多少？

有如下两个命题： 命题一：若 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 三个函数，满足 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 单调递增，$\displaystyle f(x)+h(x)$ 单调递增， $\displaystyle g(x)+h(x)$ 单调递增，则 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 至少一个单调递增。 命题二：若 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 三个函数，满足 $\displaystyle f(x) \cdot g(x)$ 是奇函数，$\displaystyle f(x) \cdot h(x)$ 是奇函数， $\displaystyle g(x) \cdot h(x)$ 是奇函数，则 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 都是奇函数。 两个命题中，哪个命题是真命题？

考虑两个圆锥曲线 $\displaystyle C_{1}: x^{2}+(y-6)^{2}=2, C_{2}: \frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$ ，点 $\displaystyle P$ 在 $\displaystyle C_{1}$ 上运动，点 $\displaystyle Q$ 在 $\displaystyle C_{2}$ 上运 动，求：$\displaystyle |P Q|$ 的最大值。

已知函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)=2 f(2-x)+x^{2}+8 x-8$ ，求：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1, f(1))$ 处的切线方程。

给出直线方程 $\displaystyle l:\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\ y=t+1\end{array}\right.$（ $\displaystyle t$ 为参数）与圆锥曲线 $\displaystyle C: \rho^{2} \cos 2 \theta=4$ 的交点及二者的直角坐标系下的方程。

考虑平面区域 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}y \leq x+2 \\ x+y-2 \geq 0 \\ \frac{1}{2} x-y-1 \leq 0\end{array}\right.$ ，若在这个区域中，函数 $\displaystyle z=-a x+y$ 的最大值点不止一个，求 $\displaystyle a$的所有可能值。