5.1 反常积分计算

1．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \sin b x \mathrm{~d} x(a>0)$ ．（哈工大 2001，燕山大学 2010（ $\displaystyle b=2$ ）；$\displaystyle a=1, b=2$ ：湖南师大 2011，南京农大 2007）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos b x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x(a>0)$ 。

2．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{dx}, I_{2}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{dx}$ ，证明：$\displaystyle I_{1}$ 收玫，$\displaystyle I_{1}=I_{2}$ ，并求 $\displaystyle I_{1}$ 的值．

3．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x-2} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n+1}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}+1} \mathrm{~d} x$ ．（中科大2015，江西师大2012（ $\displaystyle n=6$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x-\sin x}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{\alpha}} \mathrm{d} x, a>0, a c-b^{2}>0, \alpha>\frac{1}{2}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．（ $\displaystyle n$ 为正整数）．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(p+x^{2}\right)\left(q+x^{2}\right)},(p>0, q>0)$ ．

4．求证： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{\alpha}\right)}=\frac{\pi}{4}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 为任意实数。武汉大学 2013，扬州大学 2009，山东科技 2009 ，中科院 2004 ，中科大 2004 ，宁波大学 2010 ，湖南师大 2008 ，温州大学 2010 ）

5．计算下列积分．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．

6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \ln 2$ ，并求下列积分：
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

7．判断下列反常积分是否收玫？若收玫，求其积分值．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x, \alpha<1$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{dx}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{1+x}+\mathrm{e}^{3-x}}$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} .($ 杭州师大 2010）
（8） $\displaystyle \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{x \ln ^{2} x}-\frac{1}{(x-1)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)-\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

8．已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ，计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．

9．证明下列等式．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \frac{1}{x}}{1-x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right) \mathrm{d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．

10．设 $\displaystyle \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y=1$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 。
分析：先求出 $\displaystyle y(x)$ ，并作变换 $\displaystyle t=\mathrm{e}^{-x}$ ，利用 $\displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}, x \in(-1,1]$ ，并逐项积分．

11．计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．

12．计算下列反常积分（已知 $\displaystyle \left.\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数，$\displaystyle a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $\displaystyle (n=5)$ ；$\displaystyle a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $\displaystyle n=10, a=1$ ））
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．

13．设 $\displaystyle f(t)=\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2}, g(t)=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{-t^{2}\left(1+x^{2}\right)}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，证明：$\displaystyle f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。

14．（傅茹兰尼公式）证明：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}$ ．（北京师大 2005，北京交大 2013／2006，电子科技 2010（ $\displaystyle k=0$ ），广西民大 2010 ，人民大学 2000）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=d$ ，则

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(d-c) \ln \frac{b}{a} .
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，对任意 $\displaystyle A>0, \int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 均有意义，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(2 x)-f(3 x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．

16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ，则对任意 $\displaystyle 0<a<b$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=A \ln \frac{b}{a}$ ．

17．设 $\displaystyle f(x) \in C[0,+\infty), b>a>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{a x}^{b x} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．

18．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$\displaystyle b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $\displaystyle 2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $\displaystyle 2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $\displaystyle a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $\displaystyle 2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $\displaystyle a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．

19．利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{-b x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a}),(b>a>0)$ ．（太原科技 2005，天津大学 2006，燕山大学 2004，华南师大 2007（ $\displaystyle a=0$ ），西北师大）