📝 北京工业大学 2013年高等代数真题

1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

2．已知 $n$（自然数 $n \geq 1$ ）阶方阵 $J$ 的所有元素都是 $-1, A=\left(a_{i j}\right)$ 中除了 $\left(a_{m}\right.$ 外，所有元素 $a_{i j}=0$ 。如果 $J$ 和 $A$ 相似，则 $a_{m}=$ $\_\_\_\_$

3．一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素由 $a_{i j}=\max (i, j)$ 给定，则 $D=$ $\_\_\_\_$

4．设 $\alpha$ 为3 维列向量，$\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，如果 $\alpha \alpha^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

5．设 $R$ 为实数域，集合 $T=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}u & v & u \\ v & x+y & x \\ u & x & u\end{array}\right) \right\rvert\, u, v, x, y \in R\right\}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$ ，维数为 $\_\_\_\_$
－．选择题（将正确答案的选项填入括考中，本题共 25 分，每小题 5 分）

1．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方作。 符 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块知阵 $\left(\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right)$ 的伴随知降为
（A）$(-1)^{\prime \prime}\left(\begin{array}{cc}0 & 3 B^{*} \\ 2 . A^{*} & 0\end{array}\right)$
（B）$(-1)^{n}\left(\begin{array}{cc}0 & 2 B^{*} \\ 3 A^{*} & 0\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{cc}0 & 2 B^{*} \\ 3 A^{*} & 0\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{cc}0 & 3 B^{*} \\ 2 A^{*} & 0\end{array}\right)$

2．没A．$P$ 约为3阶知阼，II $P^{\prime} A P^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，菇 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), \underline{Q}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+u_{2}, u_{3}\right)$则 $\underline{Q}^{-1} A \underline{Q}=(\quad)$
（A）$\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
（D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

3．设向量组 I：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 可由向量组 II：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表示，则 $($
（A）当 $r<s$ 时，向量组 II 必线性相关；
（B）当 $r>s$ 时，向量组 II 必线性相关；
（C）当 $r<s$ 时，向量组 I 必线性相关；
（D）当 $r>s$ 时，向量组 I 必线性相关。

4．$n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=3 A$ ，且 $A$ 的秩为 $r$ ，则行列式 $|A-E|=$
（A）$(-1)^{n \times r} 3^{r}$
（B） $3^{r}$
（C）$(-1)^{n-r} 2^{r}$
（D） $2^{r}$

5．设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，令 $B=A^{T} A$ ，则（
（A）$B$ 一定既相似又合同于一个对角矩阵；
（B）$B$ 一定相似但不合同于一个对角矩阵；
（C）$B$ 一定合同但不相似于一个对角矩阵：
（D）$B$ 一定不相似也不合同于一个对角矩阵。

1．求 $a, b$ 的值；

2．用正交替换将二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交替换。