📝 南京信息工程大学 2025年高等代数真题

1、 -3 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ -2 & x & -2 \\ -4 & -2 & 3\end{array}\right)$ 的特征值，求 $x$ ．

2、多项式 $f(x)$ 满足，$x-1$ 除 $f(x)$ 余 $5, x+2$ 除 $f(x)$ 余 2 ，求 $(x-1)(x+2)$ 除 $f(x)$的余式。

3、矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，求 $E-A$ 的逆．

4、在 $R[x]_{3}$ 上的欧式空间，$(f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，求 $x^{2}-1$ 的长量．

5、 $W=\left\{\left(x_{0} x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}+x_{0}+\cdots+x_{n}=0\right\}$ 的补空间 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

1、（16 分）$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2025 & 2025 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & a & 4\end{array}\right)$ 有一个二重特征值．
（8分）（1）求 $a$ 的值．
（8分）（2）判断 $A$ 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{-1} A C=D, D$ 为对角矩阵．

2、（16 分）线性空间 $V=\left\{a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{i} \in P\right\}$ ，线性变换

$$
\sigma\left(a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}\right)=a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1}
$$

（12 分）（1）求 $\sigma(V)$ 与 $\sigma^{-1}(0)$ 的维数和基．
（4 分）（2）$V$ 是否可以表示为 $\sigma(V)$ 和 $\sigma^{-1}(0)$ 的直和．

3、（16 分）$\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), \eta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ，己知 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 可以化成 3 维线性空间，求 $\alpha=\left(\begin{array}{c}18 \\ -18 \\ 18\end{array}\right)$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的坐标．

4、（16 分）非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{3}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3\end{array}\right.$ ，有 3 个线性无关的解．
（5 分）（1）记 $A$ 为方程组的系数矩阵，证明：$r(A)=2$ ．
（5 分）（2）求 $a, b$ 的值．
（6 分）（3）求方程组的解．

5、（16 分）$A$ 是特征值都为 0 的 3 阶复矩阵。
（8 分）（1）写出 $A$ 所有可能的 Jordan标准形．
（8 分）（2）$g(x)=x^{17}+11 x^{13}-x^{9}+2 x^{7}-x^{5}+x^{3}+x-3$ ，求 $|g(A)|$ ．

1、（10 分）线性变换 $\varphi$ 是线性空间 $U$ 上的正交变换，$\varepsilon$ 是恒等变换，证明：

$$
(\varphi+\varepsilon)^{-1}(0)=[(\varphi+\varepsilon) V]^{\perp}
$$

2、（15 分）$v_{1}=\left\{x \in R^{n} \mid(A+E) x=0\right\}, v_{2}=\left\{x \in R^{n} \mid(A-E) x=0\right\}$ ，证明：

$$
A^{2}=E \Leftrightarrow R^{n}=V_{1} \oplus V_{2} .
$$

3、（15 分）$A$ 是幂零变换，即存在正整数 $K, A^{k}=0, B$ 满足 $A B+B A=B$ ．
（5 分）（1）证明：$E-A$ 可递．
（10 分）（2）证明：$B=0$ ．