📝 南京师范大学 2017年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$ ；

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\frac{1}{1+\ln x}}$ ；

3．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x} d x$ ．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明
（1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在；
（2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微。

三、（15 分）（1）举例说明：有界可微函数的导函数不一定有界；
（2）证明：有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内的无界可微函数 $\displaystyle f(x)$ 的导函数必定无界．

九、（15 分）计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{S} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^{2 x}\right) d x d y$ 。其中 $S$ 为曲线 $\displaystyle z=e^{y}(0 \leq y \leq a)$

绕 $z$ 轴旋转一周生成的旋转曲面，并取上侧。

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上一个非常数的连续函数，$\displaystyle M, m$ 分别是其最大值和最小值．求证：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle m<f(x)<M$ ．

五、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）$\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \geq 1+\frac{1}{2} \int_{0}^{x} t|f(t)| d t, x \in[0,1]$ ．证明： $\displaystyle \ln |f(x)| \geq \frac{x^{2}}{4}, x \in[0,1]$ ．

八、（15 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且 $\displaystyle \left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致有界，且存在正数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n} \xi_{n}=0$ ，且 $\displaystyle f\left(\xi_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

六、（15 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续．证明：
$\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$.

十、（15 分）证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^{p}} d x$ 在 $\displaystyle 0<p<2$ 中非一致收敛，但在 $\displaystyle 0<p \leq 2-\delta(0<\delta<2)$ 中一致收敛。

四、（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，且严格单调递增．证明：$\displaystyle (a+b) \int_{a}^{b} f(x) d x<2 \int_{a}^{b} x f(x) d x$ ．