📝 南京航空航天大学 2023年数学分析真题

一．计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x}-e^{x}+x^{2}}{\arcsin x-\sin x}$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{2023} x} \mathrm{~d} x$ ．

七．设 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=3 a_{n}-a_{n-1}(n=2,3, \cdots)$ ，记 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{a_{n}}$ ，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 的玫散性．

三．设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\left|\begin{array}{ccc}
f(a) & g(a) & h(a) \\
f(b) & g(b) & h(b) \\
f^{\prime}(\xi) & g^{\prime}(\xi) & h^{\prime}(\xi)
\end{array}\right|=0
$$

并由此推出柯西中值定理．

九．设方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y^{2}=u ; \\ y+z^{2}=v ; \\ z+x^{2}=w .\end{array}\right.$ 确定了 $\displaystyle x, y, z$ 为 $\displaystyle u, v, w$ 的函数，求 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}}$ ．

二．对任意的正数 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．

五．证明 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

八．将 $\displaystyle f(x)=1-x^{2}(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ．

六．判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos x}{x+100} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛还是条件收敛．

十．计算曲面积分

$$
\iint_{S}\left(\frac{x^{3}}{a^{2}}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y^{3}}{b^{2}}+z^{2} x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{z^{3}}{c^{2}}+x^{3} y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $S$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(x \geq 0)$ ，取后侧，$\displaystyle a, b, c>0$ ．

十一．求重积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right.\right\}, a, b, c>0$ ．

十二．求均匀曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x y z=0$ 的重心．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在任意有限区间可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．